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title: "Principes et composants de l'électrotechnique" author: [SCHINDLER Hugo] date: \today titlepage: true ...
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Chapitre 1 : Introduction à l'électrotechnique
1T d'eau sur 400m pour 1kWh
Électrotechnique : Discipline traitant des dispositifs ou des systèmes mettant en jeu de l'énergie sous forme "électrique".
L'électricité n'est pas une énergie mais un vecteur de l'énergie.
I/ Production de l'électricité
###1/ Comment produit-on ?
Par conversion de puissance mécanique en puissance électrique avec des machines tournantes, machine synchrone. cf TCE 2A
Génération directe de courant. Photovoltaïque (source de courant)
Pile combustible (H_2)
###2/ Combien produit-on ?
102 100 MW (France 2012)
91 611 MW en 2016
En moyenne, 60 000 MW
eco2000.fr site web
\Rightarrow 1kW par habitant (tout usage confondu)
En énergie 2016 1MWh pour 50Euros sur les marchés de gros, Production 527TWh
- 72.8% Nucléaire
- 12.1% Hydro
- 8.7% Thermique à flamme
- 3.9% Éolien
- 1.6% Photovoltaïque PV
- 0.8% Biomasse
Consommation 483TWh export, pertes (2% sur grandes lignes et 5% sur basses tension)
###3/ Pourquoi ?
- 25% à 30% utilisation domestique
- 25% secteur tertiaire
- 25% secteur industriel
- 2% à 3% transport
II/ Le développement de l’électrotechnique dans le monde économique
###1/ Contraintes environnementales et pollution
CO$_2$ et réchauffement climatique
Ressources
Pollution en ville (particules fines, NO$_X$, bruit)
Électricité est le principal vecteur entre des ER(Énergie renouvelable) Éolien et PV mais pas le seul et pas toujours le meilleur.
Smart Grid :
- intégrant des ER
- maîtrise de la demande
- intégrations des VE (véhicules électrique)
###2/ Système électrique embarqués
a/ Automobile
électrification des VE
bon rendement
des réservoir à la roue (13%, max 30% rare), pour une chaîne de motorisation thermique
de la batterie à la roue (80%)
b/ Naval
Propulsion électrique Pod pour direction
Catapulte électromagnétique maintenant avec moteur linéaire comparé avec vapeur pneumatique
c/ aérien
1MW sur Boeing 787
Système pneumatique plus léger que électrique à puissance égale.
Mais pneumatique plus difficile à entretenir
Électrique batterie mais de énergie massique
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Chapitre 2 : Système électrique en régimes alternatifs sinusoïdal
I/ Représentations
###1/ Grandeurs caractéristiques
I_alternatif \Leftrightarrow valeur moyenne nulle sur la période
signal sinusoïdale v(t)=V_{max}cos(\omega t)
Valeur efficace : Root Mean Square RMS : V_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} v^2(t)dt}
Signal sinusoïdal V_{eff}=\frac{V_{max}}{\sqrt{2}}
fréquence \Leftrightarrow période \Leftrightarrow pulsation f=\frac{1}{T} \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}
Phase et déphasage \delta=\omega \Delta t ou \Delta t est l'écart temporel entre les 2 signaux
ATTENTION : On ne somme pas les valeurs efficaces !
Les lois des nœuds et mailles ne s'appliquent pas avec les valeurs efficaces.
###2/ Représentation des signaux sinusoïdaux à fréquence imposée
a/ Représentation complexe
On associe à une grandeur sinusoïdale, v(t)=V_{eff} 2\pi cos(\omega t+\delta) où \delta est une phase déterminée par rapport à une référence choisie par l'utilisateur,
une référence complexe \underline{V}=V_{eff}e^{j\delta} notation US V_{RMS}\angle \delta
c'est la convention spécifique à électrotechnique.
La f et la pulsation ne sont pas pris en compte dans cette représentation car f est imposée à l'ensemble du circuit et n'est pas nécessaire pour caractériser le signal.
Valable car dans le cadre de l'ARQS : \lambda =cT=6000 km à 50Hz
b/ Représentation vectorielle / Diagramme de Fresnel
Chaque signal est représenté par un vecteur, de longueur représentant la valeur efficace et d'angle représentant la phase du signal par rapport à la référence.
###3/ Le dipôle régime sinusoïdale
schéma 1
a/ notion d'impédance
Un dipôle alimenté par v(t)=V_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t+\delta) absorbe (s'il est linéaire) un courant i(t)=I_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t+\delta+\phi). On choisit \delta=0
v(t) \Leftrightarrow \underline{V}=V_{eff}e^{j0}=V_{eff}
i(t) \Leftrightarrow \underline{I}=I_{eff}e^{-j\phi}
On caractérise le dipôle par son impédance \underline{Z} telle que \underline{Z}=\frac{\underline{V}}{\underline{I}}=Ze^{j\phi} où Z=\frac{V_{eff}}{I_{eff}} et \phi=Arg(\underline{V})-=Arg(\underline{I}).
b/ cas de la résistance
v(t)=R*i(t)
\phi=0 Z=R \underline{Z}=R
Schéma 2
c/ dipôle inductif
v(t)=L*\frac{di(t)}{dt}
Z=L\omega \phi=+\pi/2
\underline{Z}=jL\omega
Schéma 3
d/ dipôle capacitif
i(t)=C*\frac{dv(t)}{dt}
Z=1/C\omega \phi=-\pi/2
\underline{Z}=1/jC\omega
Schéma 4
II/ Puissance dans un système monophasé en régime sinusoïdal
###1/ Puissance instantanée
p(t)=v(t)i(t)
v(t)=V_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t)
i(t)=I_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t-\phi)
p(t)=2 V_{eff} I_{eff} cos(\omega t-\phi) cos(\omega t)
p(t)=V_{eff} I_{eff}(cos(2\omega t)cos(\phi)+sin(2\omega t)sin(\phi)+cos(\phi))
###2/ Puissance active
<p(t)>=V_{eff} I_{eff}(<cos(2\omega t)cos(\phi)>+<sin(2\omega t)sin(\phi)>+<cos(\phi)>)=V_{eff} I_{eff} cos(\phi)=P
P est la puissance active. C’est la puissance qui contribue au transfert de l'énergie au dipôle, correspond à un travail utile pour le récepteur (peut être convertit en puissance mécanique thermique, unité [W]
###3/ Puissance réactive
p(t)=P(1+cos(2\omega t)+V_{eff} I_{eff} sin(\phi)sin(2\omega t)
Q=V_{eff} I_{eff} sin(\phi)
p(t)=P(1+cos(2\omega t)+Qsin(2\omega t)
unité [V A r] Volt ampère réactif
Q est la puissance réactive et correspond à une oscillation d'énergie entre 2 dipôles, l'un étant conductif, l'autre capacitif.
- Résistance
Schéma 5
p(t)=P(1+cos(2\omega t)
- Bobine
Schéma 6
\phi=+\pi/2
P=0, Q=V_{eff}I_{eff}
p(t)=Q sin(2\omega t)
- Capacité
Schéma 7
\phi=-\pi/2
P=0, Q=-V_{eff}I_{eff}
p(t)=Q sin(2\omega t)
exemple schéma 8
###4/ Théorème de Boucherot
Conventions pour la puissance réactive Q
Q est liée à une oscillation d'énergie la plupart des charges courantes (moteurs, convertisseurs) consomment de la puissance active et sont inductifs 0<\phi<2\pi/2. Par convention et abus de langage, on dit qu'un dipôle inductif consomme de la puissance réactive, qu'un dipôle capacitif fournit de la puissance réactive.
| Convention d'orientation du courant | Capacitif | Inductif |
|---|---|---|
| Récepteur | Q<0 | Q>0 |
| générateur | Q<0 | q<0 |
Théorème de Boucherot
La puissance active d'un ensemble de dipôle est égale à la somme algébrique des puissances actives des dipôles de cet ensemble
La puissance réactive d'un ensemble de dipôle est égale à la somme algébrique des puissances réactives des dipôles de cet ensemble
P=\sum_iP_i
Q=\sum_iQ_i
###5/ Puissance apparente
S=V_{eff}I_{eff}=\sqrt{P^2+Q^2}
Unité [V A]
On ne peut pas sommer les puissance apparentes.
S=\sqrt{(\sum_iP_i)^2+(\sum_iQ_i)^2}\neq\sum_i(P_i^2+Q_i^2)
Utilisé pour le dimensionnement des installations électrique.
S_n=V_{effn}I_{effn} la puissance apparente nominale.
la valeur nominale d'une grandeur désigne la valeur pour laquelle un équipement à été dimensionnée.
Exemple l’amphithéâtre
I_{effn}\leftrightarrow Section des conducteurs
V_{effn}\leftrightarrow Épaisseur des isolants. Section des circuits magnétiques et nombre de spires des enroulements
S_n\Leftrightarrow taille/masse/coût
Puissance apparente complexe
\underline{S}=\underline{V}.\underline{I}^*=P+jQ=Se^{j\phi}
\rightarrow outil mathématique
Schéma 9
###6/ facteur de puissance. Compensation
f_p=\frac{P}{S}
=puissance utile (énergie) transférée/dimensionnement de l'appareil.
En exploitation, on vise l'obtention de f_p le plus proche de 1.
En régime sinusoïdale,
f_p=\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}=cos{\phi}
pour f_p\rightarrow 1 Q\rightarrow0
Charge connecté au RTE (réseau de transport de l'électricité)
\frac{Q}{P}=\frac{sin(\phi)}{cos(\phi)}=tan(\phi)\leq0.4
Une charge inductive devra être compensé pas des bancs de condensateurs (cf TD1 ex2)
Régine alternatif non sinusoïdale
f_p=\frac{P}{S}
Si I non sinusoïdal,
I_{eff}=\sqrt{I_{1eff}+I_{2eff}+I_{3eff}+I_{4eff}+I_{5eff}+I_{6eff}+I_{7eff}+...+I_{keff}+...}
Si V est sinusoïdale
p_1(t)=v(t)*i_1(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)I_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t - \phi_1)
<p_1(t)>=V_{eff}I_{eff}cos(\phi)=P_1
p_2(t)=v(t)*i_2(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)I_{eff}\sqrt{2}cos(2\omega t - \phi_2)
<p_1(t)>=0 (produit scalaire)
<p_k(t)>=0, k\geq2
F_p=\frac{P}{S}=\frac{V_{eff}I_{1eff}cos(\phi_1)}{V_{eff}I_{eff}}=\frac{I_{1eff}}{I_{eff}}cos(\phi_1)=f_d.f_{\phi}
f_d est le facteur de déformation, f_{\phi} est le facteur de déphasage.
III/ Le triphasé
###1/ Définition d'un système triphasé.
$\left{\begin{matrix} v_1(t)=V_{1eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_1)\ v_2(t)=V_{2eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_2-\frac{2\pi}{3})\ v_3(t)=V_{3eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_3-\frac{4\pi}{3}) \end{matrix}\right.$
{v_1(t), v_2(t), v_3(t)} sont les tensions simples, ou tensions phases neutre.
V_{1eff}=V_{2eff}=V_{3eff}=V_{eff}
\delta_1=\delta_2=\delta_3=\delta=0
les 3 phases sont déphasées de 2\pi/3 les unes par rapport aux autres.
le système triphasé est équilibré.
{v_1(t), v_2(t), v_3(t)} est d'ordre directe.
{v_1(t), v_3(t), v_2(t)} est d'ordre inverse.
$\left{\begin{matrix} v_1(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)\ v_2(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)\ v_3(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t) \end{matrix}\right.$
C'est un système homo-polaire.
FORTESCUE : Un système de tensions (courants) triphasé déséquilibré peut se décomposer en une somme unique de 3 système de tension triphasé équilibrés dont l'un est directe, le secondaire inverse et le 3eme homo-polaire.
Diagramme de Fresnel d'un système triphasé équilibré direct.
Schéma 10
Système triphasé équilibré direct (ou inverse)
v_1(t)+v_2(t)+v_3(t)=0
###2/ Tension entre phases.
On définit les tensions entre phases, ou encore tensions composées ou tension phase-phase.
$\left{\begin{matrix} U_{12}=v_1(t)-v_2(t)\ U_{23}=v_2(t)-v_3(t)\ U_{31}=v_3(t)-v_1(t) \end{matrix}\right.$
Pour un système de tensions triphasé équilibré directe,
$\left{\begin{matrix} U_{12}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\frac{\pi}{6})\ U_{23}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-\frac{\pi}{2})\ U_{31}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-\frac{7\pi}{6}) \end{matrix}\right.$
{U_{12}, U_{23}, U_{31}} est un système de tensions triphasé équilibré direct.
Schéma 11
U_{12}(t)+U_{23}(t)+U_{31}(t)=0
$U_{eff}=\sqrt{3}V_{eff}$ est la tension efficace de la tension composée.
Sauf mention contraire, le tension d'un système triphasé est la tension efficace entre phases.
| 400V | 20kV | 63kV | 90kV | 225kV | 400kV | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| BT | 1kV | HTA | 50kV | HTB |
###3/ Les couplages
a/ Couplage étoile
Schéma 12
Si \underline{Z_1}=\underline{Z_2}=\underline{Z_3}=\underline{Z}
Et {v_1, v_2, v_3} équilibré, {i_1(t), i_2(t), i_3(t)} est triphasé équilibré.
\underline{i_N}=\underline{i_1}+\underline{i_2}+\underline{i_3}=0
b/ Schéma monophasé étoile équivalent
Pour un système triphasé (tri$\sim$ ou 3$\sim$) équilibré, on peut réduire le système à une seule phase.
Schéma 13
c/ Couplage triangle
\Delta Delta, D, d
Schéma 14
$\left{\begin{matrix} U_{12}=\underline{Z} . \underline{J_{12}}\ U_{23}=\underline{Z} . \underline{J_{23}}\ U_{31}=\underline{Z} . \underline{J_{31}} \end{matrix}\right.$
Où J est le courant d'enroulement.
Dans un couplage \Delta, le neutre n n'est pas matérialisé, les tensions simples ne sont pas mesurables, mais peuvent être définis virtuellement.
Loi des nœuds
$\left{\begin{matrix} i_1(t)=j_{12}(t)-j_{31}(t)\ i_2(t)=j_{23}(t)-j_{12}(t)\ i_3(t)=j_{31}(t)-j_{23}(t) \end{matrix}\right.$
$\left{\begin{matrix} i_1(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi)\ i_2(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi-\frac{2\pi}{3})\ i_3(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi-\frac{4\pi}{3}) \end{matrix}\right.$
I_{eff}=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{3} avec J_{eff}=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}
$I_{eff}=J_{eff}\sqrt{3}$
d/ Équivalence triangle étoile
On peut représenter un système 3$\sim \Delta$ par un système virtuel équivalent couplé en Y, où les impédances \underline{Z_e}=\frac{\underline{Z_t}}{3}
Transformation de Kennedy
\Delta,U_{eff}=Z_eJ_{eff}
Y, V_{eff}=Z_eI_{eff}
Avec U_{eff}=V_{eff}\sqrt{3}
J_{eff}=\frac{I_{eff}}{\sqrt{3}}
U_{eff}=....=V_{eff}\sqrt{3}
Z_t=3Z_e
###4/ Puissances
Puissances instantanées
p_1(t)=v_1(t).i_1(t)
p_2(t)=v_2(t).i_2(t)
p_3(t)=v_3(t).i_3(t)
P_1=V_1I_1cos(\phi_1)
P_2=V_2I_2cos(\phi_2)
P_3=V_3I_3cos(\phi_3)
Q_1=V_1I_1sin(\phi_1)
Q_2=V_2I_2sin(\phi_2)
Q_3=V_3I_3sin(\phi_3)
Avec V_1=V_2=V_3=V, \phi_1=\phi_2=\phi_3=\phi et I_1=I_2=I_3=I,
Boucherot
P=3VIcos\phi=3UJcos\phi
Q=3VIsin\phi=3UJsin\phi
Y, \Delta
U=V\sqrt{3}
I=J\sqrt{3}
P=\sqrt{3}UIcos{\phi}
P=\sqrt{3}UIsin{\phi}
Puissance apparente
S \neq S_1+S_2+S_3
S=\sqrt{P^2+Q^2}
3$\sim$ équilibré
$S=\sqrt{3}UI=3VI$Y, =3UI\Delta
p_1(t)=P_1(1+cos(2\omega t)+Q_1sin(2\omega t)
p_2(t)=P_2(1+cos(2\omega t+\frac{2\pi}{3})+Q_2sin(2\omega t+\frac{2\pi}{3})
p_3(t)=P_3(1+cos(2\omega t-\frac{2\pi}{3})+Q_3sin(2\omega t-\frac{2\pi}{3})
P_1=P_2=P_3 et$ Q_1=Q_2=Q_3$
p(t)=p_1(t)+p_2(t)+p_3(t)=P_1+P_2+P_3=P
###5/ Intérêt du 3$\sim$
Densité de courant dans les conducteurs
\delta=\frac{I_{eff}}{S}=constante
R=\rho\frac{l}{S}
Schéma 15
- En Monophasé
P=U_mI_m (cos$\phi$=1)
\delta=\frac{I_m}{S_m} avec S_m la section d'un conducteur monophasé.
Volume de métal conducteur 2.l.S_m
- En 3
\sim
P=\sqrt{3}U_tI_tcos\phi (cos$\phi$=1)
\delta=\frac{I_t}{S_t}=\frac{I_m}{S_m}
Volume de métal conducteur 3.l.S_t
P=\sqrt{3}U_tI_t=U_mI_m
Si U_t=U_m alors \frac{I_m}{I_t}=\sqrt{3}
\frac{S_m}{S_t}=\sqrt{3}
3$\sim3lS_t$
1$\sim2lS_m=2l\sqrt{3}S_t>3lS_t$
Le triphasé permet un économie de métal conducteur (\frac{3}{2\sqrt{3}}\tilde85\%)
- Pertes
tableau à faire
| 1$\sim$ | 3$\sim$ |
|---|---|
2R_mI_m^2 |
3R_tI_t^2 |
2\rho\frac{l}{S_t}\sqrt{3}I_t^2> |
>3\rho\frac{l}{S_t}I_t^2 |
13% de pertes en moins
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Chapitre 3 : Bases de la physique pour l’électrotechnique
I/ Définitions et lois de l’électromagnétisme appliqué à l’électrotechnique
###1/ Champs d'excitation et d'induction magnétiques
\vec{B} champ d'induction magnétique
- [T]
- Conservation du flux
- Loi de Lenz
\vec{H} champ d'excitation magnétique
- [A/m]
- Théorème d'Ampère
\vec{B} et \vec{H} sont liés par le comportement du matériau ou du milieu qu'il est soumis.
Matériau linéaire : \vec{B}=\mu\vec{H}
Vide : \vec{B}=\mu_0\vec{H}
###2/ Théorème d'Ampère
a/ Équation de Maxwell Ampère
\vec{rot}\vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}
En milieu homogène (\epsilon =constante, \mu = constante) et isotropes (\epsilon et \mu scalaires) :
\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}
\vec{rot}\vec{H}=\vec{j}+\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
Dans le vide, l'air, le cuivre : \vec{B}=\mu_0\vec{H}
\vec{rot}\vec{B}=\mu_0\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
En électrotechnique, les courants sont crées par conduction à partir d'une source de tension (souvent sinusoïdale)
\vec{j}=\sigma\vec{E}
\sigma conductivité
\vec{rot}\vec{H}=\sigma\vec{E}+\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
Dans le cas d'un système sinusoïdale à 50Hz, on peut comparer \sigma à \epsilon_0\omega.
\frac{\epsilon_0\omega}{\sigma}=\frac{8.85*10^{-92}*100\pi}{59.6*10^{6}}=4.7*10^{-17}
Équation simplifié : \vec{rot}\vec{H}=\vec{j}
b/ Intégration
On intègre l'équation simplifié sur une surface S délimité par un contour fermé C.
\int\int_S\vec{rot}\vec{H}.\vec{dS}=\int\int_S\vec{j}.\vec{dS}
Formule de Stokes : \int\int_S\vec{rot}\vec{H}.\vec{dS}=\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\int\int_S\vec{j}.\vec{dS}
c/ Application à l’électronique
La densité de courant est portée par des conducteurs bobinés autour d'un circuit (ou noyau) magnétique.
\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\sum i
signe des courants dans la relation précédente : Cela dépend de l'orientation du courant choisi i. On choisit en général un contour tangent aux lignes de champs, et sur lequelle champ \vec{H} est de module constant, au moins par plages.
\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\sum_kH_kL_k\sum i
d/ Comportement à l'interface
\vec{H} conserve sa composante tangentielle à l'interface des séparations entre 2 milieux.
Schéma XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
ATTENTION, il manque la fin
###3/ Conservation du flux
a/ Maxwell-Thomson
div \vec{B}=0
Green-Ostrogradsky : \int\int\int_V div\vec{B}dV=\oint\oint_S\vec{B}\vec{dS}=0
Le flux d’induction est conservatif. On choisit judicieusement ds volumes dont la surface latérale est tangent aux lignes de champs d'induction : tube d'induction.
Schéma XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
ATTENTION, il manque la fin
b/ Conversation de la composante normale de \vec{B} à l'interface entre 2 milieux.
Schéma 19
\phi_{S1}+\phi_{S2}+\phi_{Sl}=0
Si \phi_{Sl}=0 : \phi_{S1}+\phi_{S2}\rightarrow 0
\vec{B}=B_t\vec{t}+B_n\vec{n}
$\phi_{S1}=...=B_{n1}S_1
$\phi_{S2}=...=-B_{n2}S_2
En choisissant, S_1=S_2 et avec \phi_{S1}+\phi_{S2}=0, on obtient localement : B_{n1}=B_{n2}
###4/ La loi de Lenz
maxwell-Faraday : \vec{rot}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
Stockes : \int\int_S\vec{rot}\vec{E}=\oint_C\vec{E}.\vec{dl}=-\int\int_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
Si la surface est fermée et fixe dans le temps (cas d'une spire)
\oint_C\vec{E}.\vec{dl}=e (f.e.m force électromotrice induite dans la spire)
Donc e=-\frac{d\phi}{dt} Loi de Lenz
e est en convention générateur. Le sens de \phi est lié aux courants dans les enroulements et e est en convention générateur par rapport au courant dans l'enroulement qui permet de générer \phi.
Schéma 20
Cas d'un nombre multiples de spires connectés en série. on définit le flux \Phi
\Phi=\sum_i\phi_i
où n est le nombre de spires.
e=-\frac{d\Phi}{dt} où e est la f.e.m aux bornes de l’enroulement.
Si les spires sont soumises au même flux : \phi_i=\phi\Rightarrow\Phi=n\phi
e=-n\frac{d\phi}{dt}
v(t)=n\frac{d\phi}{dt}
II/ Matériaux magnétiques linéaires
###1/Caractérisation des matériaux linéaires
matériau linéaire : relation linéaire (et scalaire) entre \vec{B} et \vec{H}.
\vec{B}=\mu\vec{H} avec \mu la perméabilité de matériau.
- Vide, air, cuivre :
\mu_0=4\pi*10^{-7}
1Tesla dans l'ai, $H=\frac{B}{\mu_0}\sim10^6$A/m
Moteur électrique diamètre 30cm
une ligne de champ mesure environ 1m, il faut 1 000 000 A pour obtenir 1T.
- Matériaux ferreux ont une perméabilité
\mu=\mu_r\mu_0
\mu_r perméabilité relative \mu_r\sim10^3à10^4
$H=\frac{B}{\mu}\sim10^3$A/m si \mu_r=1000
nI=1000A pour obtenir 1T
Hl=nI, on peut prendre n=100 et I=10A
les matériaux ferreux concentrent et amplifient le champ \vec{B}.
###2/ canalisation du flux
à l'interface de 2 milieux, conservation de $B_n$et H_t
On définit tan\alpha=\frac{B_t}{B_n}
\alpha est l'angle d'incidence entre \vec{B} et la normale \vec{n}.
Schéma 21
tan\alpha_1=\frac{B_{t1}}{B_{n1}}
tan\alpha_2=\frac{B_{t2}}{B_{n2}}
\frac{tan\alpha_1}{tan\alpha_2}=\frac{B_{t1}}{B_{t2}} Or B_{t1}=\mu_1H_{t1} et B_{t2}=\mu_2H_{t2} et H_{t1}=H_{t2}
$\frac{tan\alpha_1}{tan\alpha_2}=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}$ Théorème de la réfraction magnétique différent de l'optique
Si \mu_1>>\mu_2 (fer>>air)
tan\alpha_2=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}tan\alpha_1 et si $\alpha_1<90$°
tan\alpha_2\sim 0
B_{t2}\sim0, il ne reste que la composante normale qui traverse l'interface.
La composante tangentielle reste canalisé dans le matériau où \mu est élevée.
Un circuit magnétique tangent aux lignes d'induction canalise le flux.
Problème des angles droits : fuite de flux normal à la surface : angles arrondis
Schéma 22
Si passage obligé dans l'air (cas de l'entrefer) : B orthogonal à la surface de l’interface
Schéma 23
\mu_r<\infty il n'y a pas de conducteur de flux magnétique parfait \Rightarrow fuites de flux dans l'air.
###3/ Énergie magnétique
On considère un circuit magnétique composé d'un enroulement de n spires bobinés autour d'un noyau de section S de longueur de ligne de champ moyenne l.
Schéma 24
L'énergie reçue peut se calculer à partir de l'énergie électrique fournie.
W=\int^{t_0}_0v(t)i(t)dt=\int^{t_0}_0i(t)\frac{d\Phi}{dt}dt=\int^{\Phi_0}_0i(\Phi)d\Phi
\Phi=n\phi
W=n\int^{\phi_0}_0i(\phi)d\phi
\phi=B.S
W=nS\int^{B_0}_0i(B)dB car S est constante.
Théorème d'Ampère
ni=Hl
W=lS\int^{B_0}_0H(B)dB = volume du noyau * densité volumique d'énergie magnétique.
B=f(H) \Rightarrow B=$\mu$H
Schéma 25
w^+=\int_0^{B_0}HdB>0
w^-=\int_{B_0}^0HdB<0 énergie de démagnétisation.
###4/ induction (propre et mutuelle)
a/ Inductance propre
Système magnétique avec matériau linéaire.
| I | \rightarrow |
H | \rightarrow |
B | \rightarrow |
\phi |
\rightarrow |
\Phi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
H=\frac{nI}{l} |
B=\mu H |
\phi=BS |
\Phi=n\phi |
Tous est linéaire.
On définit $L=\frac{\Phi}{I}$ L'inductance
Exemple :
Système magnétique avec noyau de section constante et en négligeant les fuites.
Schéma 26
\Phi=n^2\mu\frac{S}{l}
b/ Énergie et inductance
W=Sl\int_0^{B_0}HdB
matériau linéaire B=\mu H H=ni/l
W=Sl\int \frac{ni}{l}\mu dH
W=n^2\frac{\mu S}{l}\frac{i_0^2}{2}
$W=\frac{1}{2}LI_0^2$
$W=\frac{1}{2}\frac{\Phi_0^2}{L}$
c/ Inductance mutuelle
Lorsque plusieurs enroulements sont bobinés autour d'un même noyau magnétique, on définit : $\Phi_i=M_{ij}I_j$ et M_{ij}=\frac{\Phi_i}{I_j} est l'inductance mutuelle de l'enroulement j sur i.
De même que pour l'inductance propre : M_{ij}=n_in_j\mu\frac{S}{l}
e_i=-\frac{d\Phi_i}{dt} où
\Phi_i=L_iI_i+\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}I_k
e_i=-L_i\frac{dI_i}{dt}-\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}\frac{dI_k}{dt}
v_i=L_i\frac{dI_i}{dt}+\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}\frac{dI_k}{dt}
###5/ Réluctance et force magnéto-motrice
Pour un circuit magnétique fermé de section constante, on peut générer le champ H à l'aide d'un enroulement de n spires, parcourus par un courant I, on appelle force magnéto-motrice la grandeur nI. On peut relier cette grandeur à un flux d'induction \phi.
Hl=nI
nI=\frac{l\phi}{\mu S} (nI est la f.m.m)
Réluctance \Re=\frac{l}{\mu S}
On note que L=\frac{n^2}{\Re}
Analogie Schéma 27
| Magnétique | électrique |
|---|---|
| f.m.m nI | f.e.m |
réluctance \Re=\frac{l}{\mu S} |
résistance R=\frac{l}{\sigma S} |
flux \phi : conservation du flux |
Courant I: loi des nœuds |
association parallèle et série des \Re |
association parallèle et série des R |
| point diviseur | point diviseur |
| flux/f.m.m | courant/tension |
loi d'Ohm magnétique nI=\Re\phi |
U=Ri |
###6/ Prise en compte des fuites
La canalisation de \phi n'est pas parfaite, il n'existe pas d'isolant magnétique. Une partie du flux \phi sort du noyau magnétique et se reboucle dans l'air où \mu est plus faible.
Conséquence pratiques : il faut surexciter le système avec des valeurs de I plus élevé, prise en compte des fuites (différent des pertes) par le coefficient de Hopkinson r qui est le rapport entre flux total \phi_t et le flux utile \phi_u du système.
r=\frac{\phi_t}{\phi_u}=\frac{\Re_u}{\Re_t}
Exemple : Schéma 27
III/ Non linéarité des matériaux
les matériaux à \mu_r élevé sont linéaires pour des valeurs de B limités (0.5, 0.6T)
###1/ Saturation
\mu élevé pour B et H faibles puis \frac{\Delta B}{\Delta H} décroissant et tend vers \mu_0.
Schéma 28
Conséquences :
- Sur intensité
- génération d'harmonique en régime sinusoïdal
- ferrorésonnance
B(t) et v(t)sinusoïdal
B=+\int\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS}cos(\omega t)dt
B=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS\omega}sin(\omega t)=B_{max}sin(\omega t)
Schéma 29
Pour éviter la saturation, il faut limiter B à des valeurs relativement faibles.
B_{max}\leq B_{sat}
en Sinusoïdal,
B_{max}=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS\omega}\leq B_{sat}
On dimensionne \{\frac{V_{eff}}{n}, S, \omega\} de sorte à limiter B<B_{sat}
###2/ Hystérésis
a/ Définition
Schéma 30
B_r induction rémanente, lorsque H=0
H_c champ coercitif, lorque B=0
b/ sous cycle d’hystérésis, droite de recul
Schéma 31
Sous cycle d’hystérésis : inclus dans le cycle principal
Matériau dur : matériau magnétique à cycle d’hystérésis large
Matériau doux : matériau magnétique à cycle d’hystérésis étroit
Schéma 32
Dans les matériaux dur, les sous-cycles d’hystérésis sont très aplatis. On peut les assimiler à des droites : droites de recul
c/ Pertes par hystérésis
w=\int HdB
Lors du parcours d'un cycle, le système absorbe une densité d'énergie volumique égale à la surface du cycle A_H, et une énergie perdue, égale à W_H=Vol.A_H. La puissance perdue peut se modéliser par P_H=frac{W_H}{T}=W_Hf=Vol.A_H.f
Pour un système non saturé, A_H est proportionnelle à B_{max}^2, B_{max}=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS\omega}
P_H(V_{eff})=KV_{eff}^2fVol
A fréquence finie, les P_H sont proportionnelles à V_{eff}^2. On peut modéliser électriquement P_H par une résistance en parallèle avec l'enroulement.
Schéma 34
d/ Source de force magneto motrice (f.m.m.) générée par un aimant
Aimnat longueur l_a, section S_a
Aimant = Source de fmm car B et H de sens oppposé possible sur le cycle
\sum H_il_i=0
H_al_a+\sum_{i\neq a}H_il_i=0
Correction du flux : \phi_a=\phi \Leftrightarrow B_aS_a=B_iS_i pour obtenir B_a et B_i non nuls et de même signe , il faut que H_a soit de signe opposé au H_i.
$B_a=B_r+\mu_aH_a$*\Re_a
\Re_a=\frac{l_a}{\mu_aS_a}
\frac{B_al_a}{\mu_aS_a}=\frac{B_rl_a}{\mu_aS_a}+\frac{H_al_a}{S_a}
avec \phi=B_aS_a
\Re_a\phi_a=\frac{B_rl_a}{\mu_a}+H_al_a
\frac{B_rl_a}{\mu_a}-\Re_a\phi_a=-H_al_a
\frac{B_rl_a}{\mu_a} est la caractéristique de l'aimant
f.m.m à vide : modèle équivalent de l'aimant
Schéma 36
Exemple d'un circuit avec aimant et entrefer :
B_aS_a=B_eS_e avec B_e=\mu_0H_e
H_al_a+H_ee=0
Donc B_a=-\mu_0\frac{l_a}{e}\frac{S_e}{S_a}H_a droite de charge du circuit
circuit élect équivalent : Schéma 37
3/ Pertes par courants de Foucault
Noyau magnétique à base de fer, qui est conduteur de l'électricité et est soumis à des varations temporelle du champs magnétique \vec{B}. Des courants sont crées dans le fer et leur circulation génère des pertes par effet Joule
2 modélisations :
- Voir le poly : résolution analytique ancienne inutile.
- Maillage élément fini : equation de Maxwell
On considère un circuit magnétique de section constante S
Schéma 38
A l'intérieur d'une tranche de surface S, on considère une spire élémentaire de surface \lambda S.
Dans cette spire, une variation de flux \phi=BS induit une fem e=-\lambda\frac{d\phi}{dt}.
L'enroulement qui sert de source de fmm est alimenté avec une tension v(t)=+n\frac{d\phi}{dt} (en négligeant les pertes Joule dans les conducteurs de l'enroulement).
e(t)=-\frac{\lambda}{n}v(t).
En notant r_i la résistance de la spire élémentaire, on peut quantifier les pertes dans cette spire.
d^2P_F=e^2/r_i=(\frac{\lambda}{n})^2\frac{v^2}{r_i}
En intégrant sur toute la surface de la section du circuit (en intégrant \lambda entre 0 et 1) : dP_F=\propto v^2
Pour le circuit entier, on intègre sur toute la longueur, P_F=kv^2, où k est \propto à la longueur du circuit (si celui-ci est de section constante)
Fin de la démo
En régime sinusoïdal,
B_{max}=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{S_n\omega}
P_F=KV^2=K(\frac{S_n\omega B_{max}}{\sqrt{2}})^2
P_F est proportionnel à f^2
Réduction de $P_F$
- Utilisation de matériaux à résistance élevé
- Feuilletage des circuits magnétique parallèle aux lignes de champ d'induction
4/ Pertes fer
Les pertes fer représentent l'ensemble des pertes de puissance qui ont lieu dans le matériau magnétique.
- Pertes par hystérisis (kfv^2)
- Pertes par courants de Foucault (kf^2v^2)
- Autres pertes
Modèle générique : Résistance en parallèle de l'enroulement représentant électriquement les pertes magnétiques dans le circuit
Schéma 39
Chapitre 4 : Le transformateur
I/ Structure et modélisation
Principe toujours le même, un circuit magn fermé avec 2 enroulements bobinés (un primaire, un second sur la même colone)
Schéma 40
- Bornes homologue
- borne de chanque enroulement par lesquelles doivent entrer le courant pour générer un flux magnétique dans le même sens, ou dans la même orientation. Elle sont signalées par un point.
C'est un problème pour celui qui cable le circuit. Nous on s'en fiche.
1/ Modèle du transformateur parfait
Hyp :
- matériau magnétique linéaire et non saturé
- matériau magnétique de perméabilité infinie
- conducteur sans pertes
a/ Loi de Lenz
e_1=-n_1\frac{d\phi}{dt}
e_2=-n_2\frac{d\phi}{dt}
Donc \frac{e_2}{e_1}=\frac{n_2}{n_1}=m
m est le rapport de transformation
ATTENTION : conventon de signe : e est induite \Rightarrow convention générateur
Si l'on considère des tensions d'alimentation v_1 et v_2 en convention récepteur avec le courant :
v1=-e_1=n_1\frac{d\phi}{dt}
v_2=-e_2=n_2\frac{d\phi}{dt}
et \frac{v_2}{v_1}=m
b/ Théorème d'Ampère
\oint \vec{H}\vec{dl}=n_1i_1(t)+n_2i_2(t)
Hl=n_1i_1(t)+n_2i_2(t)
ATTENTION : la somme des courants qui traversent la surface délimité par le contour avec des conventions de signe (générateur/récepteur)
Or \mu=\infty et B=\mu H
\Rightarrow H=0
n_1i_1(t)+n_2i_2(t)=Hl=0
\frac{i_2(t)}{i_1(t)}=-\frac{n_1}{n_2}=-\frac{1}{m}
Si convention générateur pour i_2 par rapport à v_2.
n_1i_1(t)-n_2i_2(t)=Hl=0
\frac{i_2(t)}{i_1(t)}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{1}{m}
Signe :
On suppose v_1=+U, donc i_1 circule dans l'enroulement est est positif et croit. Donc H croit et positif. Or B=$\mu$H Donc B croit et positif. Or \phi=BS. Donc \phi croit et est positif. Donc sa dérivée est positive. Donc e1=-derivée. e1 est négatif.
C'est un détail !
c/ Puissances
En convention récepteurs,
\frac{v_2}{v_1}=m, \frac{i_2}{i_1}=-\frac{1}{m}
p(t)=v_1(t)i_1(t)+v_2(t)i_2(t)=0
Le transformateur n'absorbe pas de puissance en conv générateur au secondaire et recepteur au primaire.
p_1(t)=v_1(t)i_1(t) absorbée
p_2(t)=v_2(t)i_2(t) fournie par le transformateur à l'extérieur
p_1(t)=p_2(t)\Rightarrow Conservation de la puissance.
Schéma 41
Transformateur parfait à 2 enroulments
d/ transfert d'impédance
Schéma 42
Les puissances consommées dans Z_1 et Z_2 sont identiques.
Le transfert d'impédance est utilisé pour s'affranchir du transformateur parfait dans l'étude des circuits électriques
2/ Imperfections (à 50Hz)
a/ Courant magnétisant et inductance de magnétisation
\mu\neq\infty
\mu_r=10^3 à 10^4 (fer)
Théorème d'Ampère : n_1i_1+n_2i_2=Hl=\Re_n\phi
Or \phi=\frac{\Phi_1}{n_1}
Et on peut exprimer la reluctance sous la forme d'une inductance au primaire (Iaire) ou au secondaire (IIaire)
L_{m1}=\frac{n_1^2}{\Re_m} et L_{m2}=\frac{n_2^2}{\Re_m}
au Iaire,
\Re_m=\frac{n_1^2}{L_{m1}} et \phi=\frac{\Phi_1}{n_1}
n_1i_1+n_2i_2=Hl=\Re_n\phi=\frac{n_1^2}{L_{m1}}\frac{\Phi_1}{n_1}=\frac{n_1\Phi_1}{L_{m1}}=n_1I_{\mu 1}
I_{\mu 1} est le courant magnétisant absorbé au Iaire par le transformateur.
et on a en fonctionnement,
n_1i_1+n_2i_2=n_1I_{\mu 1}
ou encore,
n_1i_1+n_2i_2=n_2I_{\mu 2}
où I_{\mu 2} est le courant magnétisant exprimé au IIaire par le transformateur.
à partir de n_1i_1+n_2i_2=n_1I_{\mu 1}
Si le IIaire est en circuit ouvert,
(Z_2=\infty) donc i_2=0,
n_1i_1=n_1I_{\mu 1}
i_1=I_{\mu 1}
Le courant est le courant absorbé par le transformateur lorsque l'un des 2 enroulement est à vide.
v_1(t)=+\frac{d\Phi_1}{dt} avec \Phi=L_{m1}i_{\mu 1}
v_1(t)=+L_{m1}\frac{di_{\mu 1}}{dt}
Le courant magnétisant est absorbé par une inductance de magnétisation en parallèle avec la source.
Schéma 43
ATTENTION :
Si $v_1(t)$=constante (ou si <$v_1(t)$>\neq 0)
v_1(t)=L_m\frac{d\i_{\mu 1}}{dt}
si <$v_2(t)$>\neq 0>0
i_{\mu 1}=\int \frac{v_1(t)}{L_m}dt croit
i_{\mu 1} vas atteindre des valeurs élevées
i_{\mu 1} croit Donc H croit, donc B croit donc saturation
Donc surintensité
\frac{\Delta B}{\Delta H}\sim\mu_0
Un transformateur n'est utilisable qu'en régime alternatif <v(t)>=0
b/ Inductance de fuite
\phi_1(t)=\phi_c(t)+\phi_{f1}
\phi_c est le flux commun entre les 2 enroulements
\phi_{f1} est le flux de fuites partielles de l'enroulement 1
\phi_2(t)=\phi_c(t)+\phi_{f2}
v_1(t)=n_1\frac{d\phi_1}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}+n_1\frac{d\phi_{f1}}{dt}
v_2(t)=n_2\frac{d\phi_2}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}+n_2\frac{d\phi_{f2}}{dt}
v_1(t)-n_1\frac{d\phi_{f1}}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}
v_2(t)-n_2\frac{d\phi_{f2}}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}
l_{f1}=\frac{n_1\phi_{f1}}{i_1} est l'inductance de fuite partielles de (I)
l_{f2}=\frac{n_2\phi_{f2}}{i_2} est l'inductance de fuite partielles de (II)
v_1(t)-l_{f1}\frac{di_1}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}
v_2(t)-l_{f2}\frac{di_2}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}
Schéma 44
On peut ramener les deux inductances partielles à une inductance commune sur (I) ou (II), notée généralement N_1 ou N_2
N_1=l_{f1}+\frac{l_{f2}}{m^2}
N_2=l_{f2}+m^2l_{f1}
c/ Résistance d'enroulement :
r_1=\rho\frac{l_1(longeur)}{S_1(section)}
v_1(t)-r_1i_1(t)=n_1\frac{d\phi_c}{dt}
v_2(t)-r_2i_2(t)=n_2\frac{d\phi_c}{dt}
Schéma 45
R_1=r_1+\frac{r_2}{m^2}
R_2=r_2+r_1m^2
d/Perte fer
modélisé par une résistance en parallèle avec le transformateur
ATTENTION : c'est un modèle simplifié qui permet de modéliser la variation des pertes avec V^2.
ATTENTION : R_f dépend de la fréquence
e/ Schéma à 50 Hz
Schéma 46
3/ Grandeurs Réduites
Grandeurs réduites : se calculent à partir des grandeurs physiques (tension, courant, puissance, impédances) normaliséeq par rapport à des grandeurs de référence (généralement les valeurs nominales associées)
u_1=\frac{V_1}{V_{1ref}}
u_2=\frac{V_2}{V_{2ref}}
i_1=\frac{I_1}{I_{1ref}}
i_2=\frac{I_2}{I_{2ref}}
Z_{1ref}=\frac{V_{1ref}}{I_{1ref}}=\frac{(3)V_{1ref}^2}{S_{ref}}
Z_{2ref}=\frac{V_{2ref}}{I_{2ref}}=\frac{(3)V_{2ref}^2}{S_{ref}}
z_1=\frac{Z_1}{Z_{1ref}}
z_2=\frac{Z_2}{Z_{2ref}}
S_{ref}=(3)V_{1ref}I_{1ref}=(3)V_{2ref}I_{2ref}
p=\frac{P}{S_{ref}}
q=\frac{Q}{S_{ref}}
en général, on choisit pour un système avec un transformateur :
V_{1ref}=V_{1n}
V_{2ref}=V_{2n}
S_{ref}=S_n=(3)V_{1n}I_{1n}
I_{1ref}=I_{1n}
I_{2ref}=I_{2n}
Schéma du modèle équivalent : schéma 47
Exemple : V_{1n}=20kV si V_1=19kV, u_1=0.95
V_{1n}=400kV si V_1=380kV, u_1=0.95
Les caractéristiques R et N$\omega$ d'un transformateur sont données en unité réduite :
z_{cc}=\sqrt{r^2+(n\omega)^2} % par unit p.u.
impédance de court circut si on souhaite obtenir Z_1,
Z_1=\sqrt{R^2+(N_1\omega)^2}=z_{cc}Z_{1ref}=z_{cc}\frac{V_{1n}^2}{S_n}
ou Z_2=\sqrt{R^2+(N_2\omega)^2}=z_{cc}Z_{2ref}
impédance de court-circuit : z_{cc} est la valeur d'impédance alimenté par la source lorsque le IIaire est en court-circuit.
z_{cc}\sim de 4 à 15%
II/ Fonctionnement
1/ Essais
a/ Essai à vide
IIaire en circuit ouvert Donc $I_2$=0
Iaire alimenté sous V_n
mesure de I_{1, 0}, P_0, puis calcul de S_0 et de Q_0.
P_0=\frac{V_1^2}{R_f}
Q_0=\sqrt{S_0^2-P_0^2}=\frac{V_{1n}^2}{L_m\omega}
On détermine L_m\omega et R_f
mesure de V_2\Rightarrow Rapport de transformation
b/ Essai en court-circuit
Court-circuit de IIaire
ATTENTION si V_{1cc}=V_{1n}
I_{1cc}=\frac{V_{1cc}}{Z_1}
avec Z_1=\sqrt{R^2+(N_1\omega)^2}=z_{cc}\frac{V_{1n}^2}{S_n}
I_{1cc}=\frac{V_{1cc}S_n}{z_{cc}V_{1n}^2}=\frac{S_n}{V_{1n}z_{cc}}=\frac{I_{1n}}{z_{cc}}
Donc S_{1cc}\sim10I_{1n}
l'essai en CC se fait sous tension réduite
si on veut I_{1cc}=I_{1n}
I_{1cc}=\frac{V_{1cc}}{z_{cc}\frac{V_{1n}}{I_{1n}}}
Donc V_{1cc}=z_{cc}V_{1n}
En pratique, on fait croitre V_1 de 0 jusqu'à la valeur V_1=V_{1cc} pour laquelle I_{1cc}=I_{1n} ou I_{2cc}=I_{2n}, on en déduit z_{cc}
Une mesure des puissance P et Q et du courant permet de déterminer R et N$\omega$.
P_{cc}=(3)R_1I_1^2+\frac{V_{1cc}^2}{R_f}
\frac{V_{1cc}^2}{R_f} sont les pertes fer négligeables car V_{1cc} = 10% de V_{1n}
Q_{cc}=(3)N_1\omega I_1^2=(3)N_2\omega I_2^2
R et N$\omega$
2/ En charge
en charge sur impédance \underline{Z}
a/ Relation de Kapp
Schéma 48
Approximation Kapp :
le module de RI+jXI est faible par rapport à celui de V_2 et l'angle \delta est donc lui aussi très faible.
\delta\sim 0\Rightarrow sin\delta\sim\delta et cos \delta \sim 1
En projettant horizontalement :
$mV_1cos\delta=$XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
b/ Tension de sortie en fonction de la nature de la charge
- charge R $\phi$=0,
mV_1>V_2oùmV_1est la tension à vide du 2e transfo
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ex : si tan \phi XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx
c/ Rendement
r=\frac{Puissance\-active\-délivrée}{Puissance\-active\-reçue}=\frac{P_2}{P_1}=\frac{(3)V_2I_2cos\phi_2}{(3)V_1I_1cos\phi_1}=\frac{(3)V_2I_2cos\phi_2}{(3)V_2I_2cos\phi_2+(3)R_2I2^2+(3)\frac{V_1^2}{R_F}}
r vaut 98%, 99% au point de fonctionnement nominal mais pertes à vide non négligeables (\frac{V_1^2}{R_f}\sim RI_{2n}^2, en p.u. 1/r_f\sim r)
III/ Transformateur triphasé
1/ structure
- 3 transfo mono
- transfo triphasé
transfo à 4 ou 5 colonnes : Schéma 50
V_a(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)=n_a\frac{d\Phi_a}{dt}
V_b(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-2\pi/3)=n_b\frac{d\Phi_b}{dt}
V_c(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-4\pi/3)=n_c\frac{d\Phi_c}{dt}
par intégration autour d'une valeur moyenne de flux nulle
\phi_a(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_a\omega}sin(\omega t)
\phi_b(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_b\omega}sin(\omega t-2\pi/3)
\phi_c(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_c\omega}sin(\omega t-4\pi/3)
si n_a=n_b=n_c
{$\phi_a(t), \phi_b(t), \phi_c(t)$} est un système triphasé
\phi_a(t)+\phi_b(t)+\phi_c(t)=0
Seules les 3 colones autour desquelles sont bobinés les enroulenements sont parcourus par du flux.
Transformateur à 3 colonnes : Schéma 51
2/ Couplage
a/ Couplage YY
m=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\underline{V_2}}{\underline{V_1}}=\frac{\underline{U_2}}{\underline{U_1}}
b/ Couplage \Delta\Delta
Schéma 52
m=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\underline{V_2}}{\underline{V_1}}=\frac{\underline{U_2}}{\underline{U_1}}
c/ Couplage \Delta Y_n
n pour présence de neutre
ex : transfo de distribution HTA/BT 20kV/400V
Schéma 53
\frac{\underline{V_{2a}}}{\underline{U_{1ab}}}=\frac{n_2}{n_1}
U_{1ab}=\underline{V_{1a}}-\underline{V_{1b}}=\sqrt{3}V_{1a}e^{+j\frac{\pi}{6}}
m=\frac{\underline{V_{2a}}}{\underline{V_{1a}}}=\frac{\underline{V_{2a}}\underline{U_{1ab}}}{\underline{V_{1a}}\underline{U_{1ab}}}=\frac{n_2}{n_1}\sqrt{3}e^{+j\frac{\pi}{6}}
3/ Puissance
Système équilibré
P=\sqrt{3}UIcos\phi=3VIcos\phi
Q=\sqrt{3}UIsin\phi=3VIsin\phi
S=\sqrt{3}UI=\sqrt{P^2+Q^2}
On dimensionne un transfo tri pour S_n triphasé et une tension entre phase : S_n=\sqrt{3}U_nI_n
\newpage
Chapitre 5 : Conversion életromécanique
I/ Energie d'un système électromécanique
Schéma 54
1/ Bilan d'energie
Schéma 55
Pertes Joule, fer sont modélisées en dehors du système.
La puissance éléctrique est fournie par l'enroulement.
dW_{elec}=\sum_iv_u(t)i_i(t)dt
dW_{elec}=dW_{méca}+dW_{mag}
dW_{méca}=Cd\theta en rotation
dW_{méca}=Fdx en translation
v_1(t)=\frac{d\Phi_i}{dt}
dW_{elec}=\sum_ii_id\Phi_i=Cd\theta+dW_{mag}=Fdx+dW_{mag}
2/ Calcul de l'énergie magnétique
en négligeant l'hystérisis,
l'énergie magnétique du système dépend de son état :
- mécanique : position des axes \theta, x
- magnétique : B et H, ou
\Phieti_i
On peut exprimer l'énergie magnétique emmagasinée par le système, en considérant son évolution depuis un état démagnétisé à i_i=0 et en bloquant les pièces en mouvement.
dW_{mag}=dW_{elec}=\sum_i\i_i\Phi_i
W_{mag}=\sum_i\int_0^{\Phi_i}i_id\Phi_i à \theta constant
3/ Cas d'un système linéaire
\Phi_i=\sum_jM_{ij}i_j
M_{ij} : inductance mutuelle entre (i) et (j) si i$\neq$j
M_{ii}=L_i : inductance propre de l'enroulement
dW_{mag}=\sum_ii_id\Phi_i=\sum_ii_i\sum_jm_{ij}di_j
d\Phi_i=d(\sum_j m_{ij}i_j=\sum_j i_jdm_{ij}+\sum_j m_{ij}di_j
axes bloqués dm_{ij}=0
dW_mag=\sum_i\sum_jm_{ij}i_i=\sum_jd_{ij}\sum_im_{ij}i_i
Or m_{ij}=m_{ji}
dW_mag=\sum_jdi_j\sum_im_{ji}i_i
Or \sum_im_{ji}i_i=\Phi_j
dW_{mag}=\sum_j\theta_jdi_j
De plus, d(\sum_i\theta_idi_i)=\sum_i\Phi_idi_i+\sum_ii_id\Phi_i
Avec dW_{mag}=\sum_ii_id\Phi_i=\sum\Phi_idi_i
dW_{mag}=\frac{1}{2}d(\sum_i\Phi_ii_i)
W_{mag}=\intdW_{mag}=\frac{1}{2}\sum_i\Phi_ii_i
\Phi_i=\sum_jm_{ij}i_j
$W_{mag}=\frac{1}{2}\sum_il_ii_i^2+\sum_{i>j}m_{ij}i_ii_j$
Schéma 56
4/ Expression par le schéma équivalent
Energie magnétique contenue dans un élément de tube de section \delta S et de longueur \delta l
$W=\int_{Volume} (\int_0^BHdB)\delta l\delta S$=\int_{Volume}\int_0^BHdld(B\delta S)
la f.m.m Hdl=\Re\phi
\Re=\frac{\delta l}{\mu\delta S}
W=\int_{Tubes}\int_0^{\phi}\Re_{\phi}d\phi sur un nombre discret de tubes,
$W=\sum_{Tubes j}\frac{1}{2}\Re_j\phi_j^2$
5/ Coénergie
On définit la coénergie pour exprimer l'état énergétique du système en fonction des variations de courant à flux constant.
Bilan de puissance :
\sum_ii_id\Phi_i=dW_{mag}+Cd\theta
\sum_ii_id\phi_i=\sum_id(i_i\Phi_i)-\sum_i\Phi_idi_i
\sum_id(i_i\Phi_i)-dW_{mag}=\sum_i\Phi_idi_+Cd\theta=dW_{mag}^'
On définit $W_{mag}^'=sum_ii_i\Phi_i-W_{mag}$ ** Coénergie du système magnétique
cas de système linéaire
W_{mag}=\frac{1}{2}\sum_i\phi_ii_i\RightarrowW_{mag}=W_{mag}^'
6/ Expression local de la coénergie
w=\int_0^BHdB
w^'=\int_0^HBdH
W^'=\int_{vol}w^'dv
Schéma 57