--- title: "Principes et composants de l'électrotechnique" author: [SCHINDLER Hugo] date: \today titlepage: true ... \newpage # Chapitre 1 : Introduction à l'électrotechnique 1T d'eau sur 400m pour 1kWh **Électrotechnique** : Discipline traitant des dispositifs ou des systèmes mettant en jeu de l'énergie sous forme "électrique". L'électricité n'est pas une énergie mais un vecteur de l'énergie. ## I/ Production de l'électricité ###1/ Comment produit-on ? Par conversion de puissance mécanique en puissance électrique avec des machines tournantes, machine synchrone. cf TCE 2A Génération directe de courant. Photovoltaïque (source de courant) Pile combustible ($H_2$) ###2/ Combien produit-on ? 102 100 MW (France 2012) 91 611 MW en 2016 En moyenne, 60 000 MW eco2000.fr site web $\Rightarrow$ 1kW par habitant (tout usage confondu) En énergie 2016 1MWh pour 50Euros sur les marchés de gros, Production 527TWh - 72.8% Nucléaire - 12.1% Hydro - 8.7% Thermique à flamme - 3.9% Éolien - 1.6% Photovoltaïque PV - 0.8% Biomasse Consommation 483TWh export, pertes (2% sur grandes lignes et 5% sur basses tension) ###3/ Pourquoi ? - 25% à 30% utilisation domestique - 25% secteur tertiaire - 25% secteur industriel - 2% à 3% transport ## II/ Le développement de l’électrotechnique dans le monde économique ###1/ Contraintes environnementales et pollution CO$_2$ et réchauffement climatique Ressources Pollution en ville (particules fines, NO$_X$, bruit) Électricité est le principal vecteur entre des ER(Énergie renouvelable) Éolien et PV mais pas le seul et pas toujours le meilleur. Smart Grid : - intégrant des ER - maîtrise de la demande - intégrations des VE (véhicules électrique) ###2/ Système électrique embarqués #### a/ Automobile électrification des VE bon rendement des réservoir à la roue (13%, max 30% rare), pour une chaîne de motorisation thermique de la batterie à la roue (80%) #### b/ Naval Propulsion électrique Pod pour direction Catapulte électromagnétique maintenant avec moteur linéaire comparé avec vapeur pneumatique #### c/ aérien 1MW sur Boeing 787 Système pneumatique plus léger que électrique à puissance égale. Mais pneumatique plus difficile à entretenir Électrique batterie mais de énergie massique \newpage # Chapitre 2 : Système électrique en régimes alternatifs sinusoïdal ## I/ Représentations ###1/ Grandeurs caractéristiques I_alternatif $\Leftrightarrow$ valeur moyenne nulle sur la période signal sinusoïdale $v(t)=V_{max}cos(\omega t)$ Valeur efficace : Root Mean Square RMS : $V_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} v^2(t)dt}$ Signal sinusoïdal $V_{eff}=\frac{V_{max}}{\sqrt{2}}$ fréquence $\Leftrightarrow$ période $\Leftrightarrow$ pulsation $f=\frac{1}{T}$ $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$ Phase et déphasage $\delta=\omega \Delta t$ ou $\Delta t$ est l'écart temporel entre les 2 signaux **ATTENTION** : On ne somme pas les valeurs efficaces ! Les lois des nœuds et mailles ne s'appliquent pas avec les valeurs efficaces. ###2/ Représentation des signaux sinusoïdaux à fréquence imposée #### a/ Représentation complexe On associe à une grandeur sinusoïdale, $v(t)=V_{eff} 2\pi cos(\omega t+\delta)$ où $\delta$ est une phase déterminée par rapport à une référence choisie par l'utilisateur, une référence complexe $\underline{V}=V_{eff}e^{j\delta}$ notation US $V_{RMS}\angle \delta$ c'est la convention spécifique à électrotechnique. La f et la pulsation ne sont pas pris en compte dans cette représentation car f est imposée à l'ensemble du circuit et n'est pas nécessaire pour caractériser le signal. Valable car dans le cadre de l'ARQS : $\lambda =cT=6000 km à 50Hz$ #### b/ Représentation vectorielle / Diagramme de Fresnel Chaque signal est représenté par un vecteur, de longueur représentant la valeur efficace et d'angle représentant la phase du signal par rapport à la référence. ###3/ Le dipôle régime sinusoïdale schéma 1 #### a/ notion d'impédance Un dipôle alimenté par $v(t)=V_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t+\delta)$ absorbe (s'il est linéaire) un courant $i(t)=I_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t+\delta+\phi)$. On choisit $\delta=0$ v(t) $\Leftrightarrow$ $\underline{V}=V_{eff}e^{j0}=V_{eff}$ i(t) $\Leftrightarrow$ $\underline{I}=I_{eff}e^{-j\phi}$ On caractérise le dipôle par son impédance $\underline{Z}$ telle que $\underline{Z}=\frac{\underline{V}}{\underline{I}}=Ze^{j\phi}$ où $Z=\frac{V_{eff}}{I_{eff}}$ et $\phi=Arg(\underline{V})-=Arg(\underline{I})$. #### b/ cas de la résistance v(t)=R*i(t) $\phi=0$ $Z=R$ $\underline{Z}=R$ Schéma 2 #### c/ dipôle inductif $v(t)=L*\frac{di(t)}{dt}$ $Z=L\omega$ $\phi=+\pi/2$ $\underline{Z}=jL\omega$ Schéma 3 #### d/ dipôle capacitif $i(t)=C*\frac{dv(t)}{dt}$ $Z=1/C\omega$ $\phi=-\pi/2$ $\underline{Z}=1/jC\omega$ Schéma 4 ## II/ Puissance dans un système monophasé en régime sinusoïdal ###1/ Puissance instantanée $p(t)=v(t)i(t)$ $v(t)=V_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t)$ $i(t)=I_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t-\phi)$ $p(t)=2 V_{eff} I_{eff} cos(\omega t-\phi) cos(\omega t)$ $p(t)=V_{eff} I_{eff}(cos(2\omega t)cos(\phi)+sin(2\omega t)sin(\phi)+cos(\phi))$ ###2/ Puissance active $=V_{eff} I_{eff}(++)=V_{eff} I_{eff} cos(\phi)=P$ P est la puissance active. C’est la puissance qui contribue au transfert de l'énergie au dipôle, correspond à un travail utile pour le récepteur (peut être convertit en puissance mécanique thermique, unité [W] ###3/ Puissance réactive $p(t)=P(1+cos(2\omega t)+V_{eff} I_{eff} sin(\phi)sin(2\omega t)$ $Q=V_{eff} I_{eff} sin(\phi)$ $p(t)=P(1+cos(2\omega t)+Qsin(2\omega t)$ unité [V A r] Volt ampère réactif Q est la puissance réactive et correspond à une oscillation d'énergie entre 2 dipôles, l'un étant conductif, l'autre capacitif. * Résistance Schéma 5 $p(t)=P(1+cos(2\omega t)$ * Bobine Schéma 6 $\phi=+\pi/2$ P=0, $Q=V_{eff}I_{eff}$ $p(t)=Q sin(2\omega t)$ * Capacité Schéma 7 $\phi=-\pi/2$ P=0, $Q=-V_{eff}I_{eff}$ $p(t)=Q sin(2\omega t)$ exemple schéma 8 ###4/ Théorème de Boucherot Conventions pour la puissance réactive Q Q est liée à une oscillation d'énergie la plupart des charges courantes (moteurs, convertisseurs) consomment de la puissance active et sont inductifs $0<\phi<2\pi/2$. Par convention et abus de langage, on dit qu'un dipôle inductif consomme de la puissance réactive, qu'un dipôle capacitif fournit de la puissance réactive. |Convention d'orientation du courant|Capacitif|Inductif| |:---------------------------:|:---------------------------:|:---------------------------:| |Récepteur|Q<0|Q>0| |générateur|Q<0|q<0| **Théorème de Boucherot** La puissance active d'un ensemble de dipôle est égale à la somme algébrique des puissances actives des dipôles de cet ensemble La puissance réactive d'un ensemble de dipôle est égale à la somme algébrique des puissances réactives des dipôles de cet ensemble $P=\sum_iP_i$ $Q=\sum_iQ_i$ ###5/ Puissance apparente $S=V_{eff}I_{eff}=\sqrt{P^2+Q^2}$ Unité [V A] On ne peut pas sommer les puissance apparentes. $S=\sqrt{(\sum_iP_i)^2+(\sum_iQ_i)^2}\neq\sum_i(P_i^2+Q_i^2)$ Utilisé pour le dimensionnement des installations électrique. $S_n=V_{effn}I_{effn}$ la puissance apparente nominale. la **valeur nominale** d'une grandeur désigne la valeur pour laquelle un équipement à été dimensionnée. Exemple l’amphithéâtre $I_{effn}\leftrightarrow$ Section des conducteurs $V_{effn}\leftrightarrow$ Épaisseur des isolants. Section des circuits magnétiques et nombre de spires des enroulements $S_n\Leftrightarrow$ taille/masse/coût **Puissance apparente complexe** $\underline{S}=\underline{V}.\underline{I}^*=P+jQ=Se^{j\phi}$ $\rightarrow$ outil mathématique Schéma 9 ###6/ facteur de puissance. Compensation $f_p=\frac{P}{S}$ =puissance utile (énergie) transférée/dimensionnement de l'appareil. En exploitation, on vise l'obtention de $f_p$ le plus proche de 1. En régime sinusoïdale, $f_p=\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}=cos{\phi}$ pour $f_p\rightarrow 1$ $Q\rightarrow0$ Charge connecté au RTE (réseau de transport de l'électricité) $\frac{Q}{P}=\frac{sin(\phi)}{cos(\phi)}=tan(\phi)\leq0.4$ Une charge inductive devra être compensé pas des bancs de condensateurs (cf TD1 ex2) Régine alternatif non sinusoïdale $f_p=\frac{P}{S}$ Si I non sinusoïdal, $I_{eff}=\sqrt{I_{1eff}+I_{2eff}+I_{3eff}+I_{4eff}+I_{5eff}+I_{6eff}+I_{7eff}+...+I_{keff}+...}$ Si V est sinusoïdale $p_1(t)=v(t)*i_1(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)I_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t - \phi_1)$ $=V_{eff}I_{eff}cos(\phi)=P_1$ $p_2(t)=v(t)*i_2(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)I_{eff}\sqrt{2}cos(2\omega t - \phi_2)$ $=0$ (produit scalaire) $=0, k\geq2$ $F_p=\frac{P}{S}=\frac{V_{eff}I_{1eff}cos(\phi_1)}{V_{eff}I_{eff}}=\frac{I_{1eff}}{I_{eff}}cos(\phi_1)=f_d.f_{\phi}$ $f_d$ est le facteur de déformation, $f_{\phi}$ est le facteur de déphasage. ## III/ Le triphasé ###1/ Définition d'un système triphasé. $\left\{\begin{matrix} v_1(t)=V_{1eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_1)\\ v_2(t)=V_{2eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_2-\frac{2\pi}{3})\\ v_3(t)=V_{3eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_3-\frac{4\pi}{3}) \end{matrix}\right.$ ${v_1(t), v_2(t), v_3(t)}$ sont les **tensions simples**, ou tensions phases neutre. $V_{1eff}=V_{2eff}=V_{3eff}=V_{eff}$ $\delta_1=\delta_2=\delta_3=\delta=0$ les 3 phases sont déphasées de $2\pi/3$ les unes par rapport aux autres. le système triphasé est **équilibré**. ${v_1(t), v_2(t), v_3(t)}$ est d'**ordre directe**. ${v_1(t), v_3(t), v_2(t)}$ est d'**ordre inverse**. $\left\{\begin{matrix} v_1(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)\\ v_2(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)\\ v_3(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t) \end{matrix}\right.$ C'est un système homo-polaire. **FORTESCUE** : Un système de tensions (courants) triphasé déséquilibré peut se décomposer en une somme unique de 3 système de tension triphasé équilibrés dont l'un est directe, le secondaire inverse et le 3eme homo-polaire. Diagramme de Fresnel d'un système triphasé équilibré direct. Schéma 10 Système triphasé équilibré direct (ou inverse) $v_1(t)+v_2(t)+v_3(t)=0$ ###2/ Tension entre phases. On définit les tensions entre phases, ou encore **tensions composées** ou tension phase-phase. $\left\{\begin{matrix} U_{12}=v_1(t)-v_2(t)\\ U_{23}=v_2(t)-v_3(t)\\ U_{31}=v_3(t)-v_1(t) \end{matrix}\right.$ Pour un système de tensions triphasé équilibré directe, $\left\{\begin{matrix} U_{12}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\frac{\pi}{6})\\ U_{23}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-\frac{\pi}{2})\\ U_{31}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-\frac{7\pi}{6}) \end{matrix}\right.$ ${U_{12}, U_{23}, U_{31}}$ est un système de tensions triphasé équilibré direct. Schéma 11 $U_{12}(t)+U_{23}(t)+U_{31}(t)=0$ **$U_{eff}=\sqrt{3}V_{eff}$** est la tension efficace de la tension composée. Sauf mention contraire, le tension d'un système triphasé est la tension efficace entre phases. |400V||20kV||63kV|90kV|225kV|400kV| |:--------------------:|:--------------------|:--------------------|:--------------------:|:--------------------:|:--------------------:|:--------------------:|:--------------------:| |BT|1kV|HTA|50kV|HTB|||| ###3/ Les couplages #### a/ Couplage étoile Schéma 12 Si $\underline{Z_1}=\underline{Z_2}=\underline{Z_3}=\underline{Z}$ Et ${v_1, v_2, v_3}$ équilibré, ${i_1(t), i_2(t), i_3(t)}$ est triphasé équilibré. $\underline{i_N}=\underline{i_1}+\underline{i_2}+\underline{i_3}=0$ #### b/ Schéma monophasé étoile équivalent Pour un système triphasé (tri$\sim$ ou 3$\sim$) équilibré, on peut réduire le système à une seule phase. Schéma 13 #### c/ Couplage triangle $\Delta$ Delta, D, d Schéma 14 $\left\{\begin{matrix} U_{12}=\underline{Z} . \underline{J_{12}}\\ U_{23}=\underline{Z} . \underline{J_{23}}\\ U_{31}=\underline{Z} . \underline{J_{31}} \end{matrix}\right.$ Où J est le courant d'enroulement. Dans un couplage $\Delta$, le neutre n n'est pas matérialisé, les tensions simples ne sont pas mesurables, mais peuvent être définis virtuellement. Loi des nœuds $\left\{\begin{matrix} i_1(t)=j_{12}(t)-j_{31}(t)\\ i_2(t)=j_{23}(t)-j_{12}(t)\\ i_3(t)=j_{31}(t)-j_{23}(t) \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} i_1(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi)\\ i_2(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi-\frac{2\pi}{3})\\ i_3(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi-\frac{4\pi}{3}) \end{matrix}\right.$ $I_{eff}=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{3}$ avec $J_{eff}=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}$ **$I_{eff}=J_{eff}\sqrt{3}$** #### d/ Équivalence triangle étoile On peut représenter un système 3$\sim \Delta$ par un système virtuel équivalent couplé en Y, où les impédances $\underline{Z_e}=\frac{\underline{Z_t}}{3}$ Transformation de Kennedy $\Delta,U_{eff}=Z_eJ_{eff}$ $Y, V_{eff}=Z_eI_{eff}$ Avec $U_{eff}=V_{eff}\sqrt{3}$ $J_{eff}=\frac{I_{eff}}{\sqrt{3}}$ $U_{eff}=....=V_{eff}\sqrt{3}$ $Z_t=3Z_e$ ###4/ Puissances **Puissances instantanées** $p_1(t)=v_1(t).i_1(t)$ $p_2(t)=v_2(t).i_2(t)$ $p_3(t)=v_3(t).i_3(t)$ $P_1=V_1I_1cos(\phi_1)$ $P_2=V_2I_2cos(\phi_2)$ $P_3=V_3I_3cos(\phi_3)$ $Q_1=V_1I_1sin(\phi_1)$ $Q_2=V_2I_2sin(\phi_2)$ $Q_3=V_3I_3sin(\phi_3)$ Avec $V_1=V_2=V_3=V$, $\phi_1=\phi_2=\phi_3=\phi$ et $I_1=I_2=I_3=I$, Boucherot $P=3VIcos\phi=3UJcos\phi$ $Q=3VIsin\phi=3UJsin\phi$ Y, $\Delta$ $U=V\sqrt{3}$ $I=J\sqrt{3}$ $P=\sqrt{3}UIcos{\phi}$ $P=\sqrt{3}UIsin{\phi}$ Puissance apparente $S \neq S_1+S_2+S_3$ $S=\sqrt{P^2+Q^2}$ 3$\sim$ équilibré $S=\sqrt{3}UI=3VI$Y, $=3UI\Delta$ $p_1(t)=P_1(1+cos(2\omega t)+Q_1sin(2\omega t)$ $p_2(t)=P_2(1+cos(2\omega t+\frac{2\pi}{3})+Q_2sin(2\omega t+\frac{2\pi}{3})$ $p_3(t)=P_3(1+cos(2\omega t-\frac{2\pi}{3})+Q_3sin(2\omega t-\frac{2\pi}{3})$ $P_1=P_2=P_3$ et$ Q_1=Q_2=Q_3$ $p(t)=p_1(t)+p_2(t)+p_3(t)=P_1+P_2+P_3=P$ ###5/ Intérêt du 3$\sim$ **Densité de courant dans les conducteurs** $\delta=\frac{I_{eff}}{S}=constante$ $R=\rho\frac{l}{S}$ Schéma 15 * En Monophasé $P=U_mI_m$ (cos$\phi$=1) $\delta=\frac{I_m}{S_m}$ avec $S_m$ la section d'un conducteur monophasé. Volume de métal conducteur $2.l.S_m$ * En 3 $\sim$ $P=\sqrt{3}U_tI_tcos\phi$ (cos$\phi$=1) $\delta=\frac{I_t}{S_t}=\frac{I_m}{S_m}$ Volume de métal conducteur $3.l.S_t$ $P=\sqrt{3}U_tI_t=U_mI_m$ Si $U_t=U_m$ alors $\frac{I_m}{I_t}=\sqrt{3}$ $\frac{S_m}{S_t}=\sqrt{3}$ 3$\sim3lS_t$ 1$\sim2lS_m=2l\sqrt{3}S_t>3lS_t$ Le triphasé permet un économie de métal conducteur ($\frac{3}{2\sqrt{3}}\tilde85\%$) * Pertes tableau à faire |1$\sim$|3$\sim$| |:---------------------------:|:---------------------------:| |$2R_mI_m^2$|$3R_tI_t^2$| |$2\rho\frac{l}{S_t}\sqrt{3}I_t^2>$ | $>3\rho\frac{l}{S_t}I_t^2$| 13% de pertes en moins \newpage # Chapitre 3 : Bases de la physique pour l’électrotechnique ## I/ Définitions et lois de l’électromagnétisme appliqué à l’électrotechnique ###1/ Champs d'excitation et d'induction magnétiques $\vec{B}$ champ d'induction magnétique * [T] * Conservation du flux * Loi de Lenz $\vec{H}$ champ d'excitation magnétique * [A/m] * Théorème d'Ampère $\vec{B}$ et $\vec{H}$ sont liés par le comportement du matériau ou du milieu qu'il est soumis. Matériau linéaire : $\vec{B}=\mu\vec{H}$ Vide : $\vec{B}=\mu_0\vec{H}$ ###2/ Théorème d'Ampère #### a/ Équation de Maxwell Ampère $\vec{rot}\vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ En milieu homogène ($\epsilon$ =constante, $\mu$ = constante) et isotropes ($\epsilon$ et $\mu$ scalaires) : $\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}$ $\vec{rot}\vec{H}=\vec{j}+\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ Dans le vide, l'air, le cuivre : $\vec{B}=\mu_0\vec{H}$ $\vec{rot}\vec{B}=\mu_0\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ En électrotechnique, les courants sont crées par conduction à partir d'une source de tension (souvent sinusoïdale) $\vec{j}=\sigma\vec{E}$ $\sigma$ conductivité $\vec{rot}\vec{H}=\sigma\vec{E}+\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ Dans le cas d'un système sinusoïdale à 50Hz, on peut comparer $\sigma$ à $\epsilon_0\omega$. $\frac{\epsilon_0\omega}{\sigma}=\frac{8.85*10^{-92}*100\pi}{59.6*10^{6}}=4.7*10^{-17}$ Équation simplifié : $\vec{rot}\vec{H}=\vec{j}$ #### b/ Intégration On intègre l'équation simplifié sur une surface S délimité par un contour fermé C. $\int\int_S\vec{rot}\vec{H}.\vec{dS}=\int\int_S\vec{j}.\vec{dS}$ Formule de Stokes : $\int\int_S\vec{rot}\vec{H}.\vec{dS}=\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\int\int_S\vec{j}.\vec{dS}$ #### c/ Application à l’électronique La densité de courant est portée par des conducteurs bobinés autour d'un circuit (ou noyau) magnétique. $\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\sum i$ signe des courants dans la relation précédente : Cela dépend de l'orientation du courant choisi i. On choisit en général un contour tangent aux lignes de champs, et sur lequelle champ $\vec{H}$ est de module constant, au moins par plages. $\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\sum_kH_kL_k\sum i$ #### d/ Comportement à l'interface $\vec{H}$ conserve sa composante tangentielle à l'interface des séparations entre 2 milieux. Schéma XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX **ATTENTION, il manque la fin** ###3/ Conservation du flux #### a/ Maxwell-Thomson $div \vec{B}=0$ Green-Ostrogradsky : $\int\int\int_V div\vec{B}dV=\oint\oint_S\vec{B}\vec{dS}=0$ Le flux d’induction est conservatif. On choisit judicieusement ds volumes dont la surface latérale est tangent aux lignes de champs d'induction : tube d'induction. Schéma XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX **ATTENTION, il manque la fin** #### b/ Conversation de la composante normale de $\vec{B}$ à l'interface entre 2 milieux. Schéma 19 $\phi_{S1}+\phi_{S2}+\phi_{Sl}=0$ Si $\phi_{Sl}=0$ : $\phi_{S1}+\phi_{S2}\rightarrow 0$ $\vec{B}=B_t\vec{t}+B_n\vec{n}$ $\phi_{S1}$=...=B_{n1}S_1$ $\phi_{S2}$=...=-B_{n2}S_2$ En choisissant, $S_1=S_2$ et avec $\phi_{S1}+\phi_{S2}=0$, on obtient localement : $B_{n1}=B_{n2}$ ###4/ La loi de Lenz maxwell-Faraday : $\vec{rot}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ Stockes : $\int\int_S\vec{rot}\vec{E}=\oint_C\vec{E}.\vec{dl}=-\int\int_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ Si la surface est fermée et fixe dans le temps (cas d'une spire) $\oint_C\vec{E}.\vec{dl}=e$ (f.e.m force électromotrice induite dans la spire) Donc $e=-\frac{d\phi}{dt}$ **Loi de Lenz** e est en convention générateur. Le sens de $\phi$ est lié aux courants dans les enroulements et e est en convention générateur par rapport au courant dans l'enroulement qui permet de générer $\phi$. Schéma 20 Cas d'un nombre multiples de spires connectés en série. on définit le flux $\Phi$ $\Phi=\sum_i\phi_i$ où n est le nombre de spires. $e=-\frac{d\Phi}{dt}$ où e est la f.e.m aux bornes de l’enroulement. Si les spires sont soumises au même flux : $\phi_i=\phi\Rightarrow\Phi=n\phi$ $e=-n\frac{d\phi}{dt}$ $v(t)=n\frac{d\phi}{dt}$ ## II/ Matériaux magnétiques linéaires ###1/Caractérisation des matériaux linéaires **matériau linéaire** : relation linéaire (et scalaire) entre $\vec{B}$ et $\vec{H}$. $\vec{B}=\mu\vec{H}$ avec $\mu$ la perméabilité de matériau. * Vide, air, cuivre : $\mu_0=4\pi*10^{-7}$ 1Tesla dans l'ai, $H=\frac{B}{\mu_0}\sim10^6$A/m Moteur électrique diamètre 30cm une ligne de champ mesure environ 1m, il faut 1 000 000 A pour obtenir 1T. * Matériaux ferreux ont une perméabilité $\mu=\mu_r\mu_0$ $\mu_r$ perméabilité relative $\mu_r\sim10^3à10^4$ $H=\frac{B}{\mu}\sim10^3$A/m si $\mu_r=1000$ $nI=1000A$ pour obtenir 1T Hl=nI, on peut prendre n=100 et I=10A les matériaux ferreux concentrent et amplifient le champ $\vec{B}$. ###2/ canalisation du flux à l'interface de 2 milieux, conservation de $B_n$et $H_t$ On définit $tan\alpha=\frac{B_t}{B_n}$ $\alpha$ est l'angle d'incidence entre $\vec{B}$ et la normale $\vec{n}$. Schéma 21 $tan\alpha_1=\frac{B_{t1}}{B_{n1}}$ $tan\alpha_2=\frac{B_{t2}}{B_{n2}}$ $\frac{tan\alpha_1}{tan\alpha_2}=\frac{B_{t1}}{B_{t2}}$ Or $B_{t1}=\mu_1H_{t1}$ et $B_{t2}=\mu_2H_{t2}$ et $H_{t1}=H_{t2}$ **$\frac{tan\alpha_1}{tan\alpha_2}=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}$** **Théorème de la réfraction magnétique** différent de l'optique Si $\mu_1>>\mu_2$ (fer>>air) $tan\alpha_2=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}tan\alpha_1$ et si $\alpha_1<90$° $tan\alpha_2\sim 0$ $B_{t2}\sim0$, il ne reste que la composante normale qui traverse l'interface. La composante tangentielle reste canalisé dans le matériau où $\mu$ est élevée. Un circuit magnétique tangent aux lignes d'induction canalise le flux. Problème des angles droits : fuite de flux normal à la surface : angles arrondis Schéma 22 Si passage obligé dans l'air (cas de l'entrefer) : B orthogonal à la surface de l’interface Schéma 23 $\mu_r<\infty$ il n'y a pas de conducteur de flux magnétique parfait $\Rightarrow$ fuites de flux dans l'air. ###3/ Énergie magnétique On considère un circuit magnétique composé d'un enroulement de n spires bobinés autour d'un noyau de section S de longueur de ligne de champ moyenne l. Schéma 24 L'énergie reçue peut se calculer à partir de l'énergie électrique fournie. $W=\int^{t_0}_0v(t)i(t)dt=\int^{t_0}_0i(t)\frac{d\Phi}{dt}dt=\int^{\Phi_0}_0i(\Phi)d\Phi$ $\Phi=n\phi$ $W=n\int^{\phi_0}_0i(\phi)d\phi$ $\phi=B.S$ $W=nS\int^{B_0}_0i(B)dB$ car S est constante. Théorème d'Ampère ni=Hl $W=lS\int^{B_0}_0H(B)dB$ = volume du noyau * densité volumique d'énergie magnétique. B=f(H) $\Rightarrow$ B=$\mu$H Schéma 25 $w^+=\int_0^{B_0}HdB>0$ $w^-=\int_{B_0}^0HdB<0$ énergie de démagnétisation. ###4/ induction (propre et mutuelle) #### a/ Inductance propre Système magnétique avec matériau linéaire. |I|$\rightarrow$|H|$\rightarrow$|B|$\rightarrow$|$\phi$|$\rightarrow$|$\Phi$| |:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:| ||$H=\frac{nI}{l}$||$B=\mu H$||$\phi=BS$||$\Phi=n\phi$|| Tous est linéaire. On définit **$L=\frac{\Phi}{I}$** L'inductance Exemple : Système magnétique avec noyau de section constante et en négligeant les fuites. Schéma 26 $\Phi=n^2\mu\frac{S}{l}$ #### b/ Énergie et inductance $W=Sl\int_0^{B_0}HdB$ matériau linéaire $B=\mu H$ H=ni/l $W=Sl\int \frac{ni}{l}\mu dH$ $W=n^2\frac{\mu S}{l}\frac{i_0^2}{2}$ **$W=\frac{1}{2}LI_0^2$** **$W=\frac{1}{2}\frac{\Phi_0^2}{L}$** #### c/ Inductance mutuelle Lorsque plusieurs enroulements sont bobinés autour d'un même noyau magnétique, on définit : **$\Phi_i=M_{ij}I_j$** et $M_{ij}=\frac{\Phi_i}{I_j}$ est l'inductance mutuelle de l'enroulement j sur i. De même que pour l'inductance propre : $M_{ij}=n_in_j\mu\frac{S}{l}$ $e_i=-\frac{d\Phi_i}{dt}$ où $\Phi_i=L_iI_i+\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}I_k$ $e_i=-L_i\frac{dI_i}{dt}-\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}\frac{dI_k}{dt}$ $v_i=L_i\frac{dI_i}{dt}+\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}\frac{dI_k}{dt}$ ###5/ Réluctance et force magnéto-motrice Pour un circuit magnétique fermé de section constante, on peut générer le champ H à l'aide d'un enroulement de n spires, parcourus par un courant I, on appelle force magnéto-motrice la grandeur nI. On peut relier cette grandeur à un flux d'induction $\phi$. Hl=nI $nI=\frac{l\phi}{\mu S}$ (nI est la f.m.m) **Réluctance** $\Re=\frac{l}{\mu S}$ On note que $L=\frac{n^2}{\Re}$ Analogie Schéma 27 |Magnétique|électrique| |:--------------------------------------:|:--------------------------------------:| |f.m.m nI|f.e.m| |réluctance $\Re=\frac{l}{\mu S}$|résistance $R=\frac{l}{\sigma S}$| |flux $\phi$ : conservation du flux|Courant I: loi des nœuds| |association parallèle et série des $\Re$|association parallèle et série des R| |point diviseur|point diviseur| |flux/f.m.m|courant/tension| |loi d'Ohm magnétique $nI=\Re\phi$|U=Ri| ###6/ Prise en compte des fuites La canalisation de $\phi$ n'est pas parfaite, il n'existe pas d'isolant magnétique. Une partie du flux $\phi$ sort du noyau magnétique et se reboucle dans l'air où $\mu$ est plus faible. Conséquence pratiques : il faut surexciter le système avec des valeurs de I plus élevé, prise en compte des fuites (**différent des pertes**) par le coefficient de **Hopkinson** r qui est le rapport entre flux total $\phi_t$ et le flux utile $\phi_u$ du système. $r=\frac{\phi_t}{\phi_u}=\frac{\Re_u}{\Re_t}$ Exemple : Schéma 27 ## III/ Non linéarité des matériaux les matériaux à $\mu_r$ élevé sont linéaires pour des valeurs de B limités (0.5, 0.6T) ###1/ Saturation $\mu$ élevé pour B et H faibles puis $\frac{\Delta B}{\Delta H}$ décroissant et tend vers $\mu_0$. Schéma 28 Conséquences : - Sur intensité - génération d'harmonique en régime sinusoïdal - ferrorésonnance B(t) et v(t)sinusoïdal $B=+\int\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS}cos(\omega t)dt$ $B=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS\omega}sin(\omega t)=B_{max}sin(\omega t)$ Schéma 29 Pour éviter la saturation, il faut limiter B à des valeurs relativement faibles. $B_{max}\leq B_{sat}$ en Sinusoïdal, $B_{max}=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS\omega}\leq B_{sat}$ On dimensionne $\{\frac{V_{eff}}{n}, S, \omega\}$ de sorte à limiter $B$\neq 0$) $v_1(t)=L_m\frac{d\i_{\mu 1}}{dt}$ si <$v_2(t)$>$\neq 0>0$ $i_{\mu 1}=\int \frac{v_1(t)}{L_m}dt$ croit $i_{\mu 1}$ vas atteindre des valeurs élevées $i_{\mu 1}$ croit Donc H croit, donc B croit donc saturation Donc surintensité $\frac{\Delta B}{\Delta H}\sim\mu_0$ Un transformateur n'est utilisable qu'en régime alternatif $=0$ #### b/ Inductance de fuite $\phi_1(t)=\phi_c(t)+\phi_{f1}$ $\phi_c$ est le flux commun entre les 2 enroulements $\phi_{f1}$ est le flux de fuites partielles de l'enroulement 1 $\phi_2(t)=\phi_c(t)+\phi_{f2}$ $v_1(t)=n_1\frac{d\phi_1}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}+n_1\frac{d\phi_{f1}}{dt}$ $v_2(t)=n_2\frac{d\phi_2}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}+n_2\frac{d\phi_{f2}}{dt}$ $v_1(t)-n_1\frac{d\phi_{f1}}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}$ $v_2(t)-n_2\frac{d\phi_{f2}}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}$ $l_{f1}=\frac{n_1\phi_{f1}}{i_1}$ est l'**inductance de fuite partielles** de (I) $l_{f2}=\frac{n_2\phi_{f2}}{i_2}$ est l'**inductance de fuite partielles** de (II) $v_1(t)-l_{f1}\frac{di_1}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}$ $v_2(t)-l_{f2}\frac{di_2}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}$ Schéma 44 On peut ramener les deux inductances partielles à une inductance commune sur (I) ou (II), notée généralement $N_1$ ou $N_2$ $N_1=l_{f1}+\frac{l_{f2}}{m^2}$ $N_2=l_{f2}+m^2l_{f1}$ #### c/ Résistance d'enroulement : $r_1=\rho\frac{l_1(longeur)}{S_1(section)}$ $v_1(t)-r_1i_1(t)=n_1\frac{d\phi_c}{dt}$ $v_2(t)-r_2i_2(t)=n_2\frac{d\phi_c}{dt}$ Schéma 45 $R_1=r_1+\frac{r_2}{m^2}$ $R_2=r_2+r_1m^2$ #### d/Perte fer modélisé par une résistance en parallèle avec le transformateur ATTENTION : c'est un modèle simplifié qui permet de modéliser la variation des pertes avec $V^2$. ATTENTION : $R_f$ dépend de la fréquence #### e/ Schéma à 50 Hz Schéma 46 ### 3/ Grandeurs Réduites **Grandeurs réduites** : se calculent à partir des grandeurs physiques (tension, courant, puissance, impédances) normaliséeq par rapport à des grandeurs de référence (généralement les valeurs nominales associées) $u_1=\frac{V_1}{V_{1ref}}$ $u_2=\frac{V_2}{V_{2ref}}$ $i_1=\frac{I_1}{I_{1ref}}$ $i_2=\frac{I_2}{I_{2ref}}$ $Z_{1ref}=\frac{V_{1ref}}{I_{1ref}}=\frac{(3)V_{1ref}^2}{S_{ref}}$ $Z_{2ref}=\frac{V_{2ref}}{I_{2ref}}=\frac{(3)V_{2ref}^2}{S_{ref}}$ $z_1=\frac{Z_1}{Z_{1ref}}$ $z_2=\frac{Z_2}{Z_{2ref}}$ $S_{ref}=(3)V_{1ref}I_{1ref}=(3)V_{2ref}I_{2ref}$ $p=\frac{P}{S_{ref}}$ $q=\frac{Q}{S_{ref}}$ en général, on choisit pour un système avec un transformateur : $V_{1ref}=V_{1n}$ $V_{2ref}=V_{2n}$ $S_{ref}=S_n=(3)V_{1n}I_{1n}$ $I_{1ref}=I_{1n}$ $I_{2ref}=I_{2n}$ **Schéma du modèle équivalent** : schéma 47 Exemple : $V_{1n}=20kV$ si $V_1=19kV$, $u_1=0.95$ $V_{1n}=400kV$ si $V_1=380kV$, $u_1=0.95$ Les caractéristiques R et N$\omega$ d'un transformateur sont données en unité réduite : $z_{cc}=\sqrt{r^2+(n\omega)^2}$ % par unit p.u. impédance de court circut si on souhaite obtenir $Z_1$, $Z_1=\sqrt{R^2+(N_1\omega)^2}=z_{cc}Z_{1ref}=z_{cc}\frac{V_{1n}^2}{S_n}$ ou $Z_2=\sqrt{R^2+(N_2\omega)^2}=z_{cc}Z_{2ref}$ **impédance de court-circuit** : $z_{cc}$ est la valeur d'impédance alimenté par la source lorsque le IIaire est en court-circuit. $z_{cc}\sim$ de 4 à 15% ## II/ Fonctionnement ### 1/ Essais #### a/ Essai à vide IIaire en circuit ouvert Donc $I_2$=0 Iaire alimenté sous $V_n$ mesure de $I_{1, 0}, P_0$, puis calcul de $S_0$ et de $Q_0$. $P_0=\frac{V_1^2}{R_f}$ $Q_0=\sqrt{S_0^2-P_0^2}=\frac{V_{1n}^2}{L_m\omega}$ On détermine $L_m\omega$ et $R_f$ mesure de $V_2\Rightarrow$ Rapport de transformation #### b/ Essai en court-circuit *Court-circuit de IIaire* ATTENTION si $V_{1cc}=V_{1n}$ $I_{1cc}=\frac{V_{1cc}}{Z_1}$ avec $Z_1=\sqrt{R^2+(N_1\omega)^2}=z_{cc}\frac{V_{1n}^2}{S_n}$ $I_{1cc}=\frac{V_{1cc}S_n}{z_{cc}V_{1n}^2}=\frac{S_n}{V_{1n}z_{cc}}=\frac{I_{1n}}{z_{cc}}$ Donc $S_{1cc}\sim10I_{1n}$ l'essai en CC se fait sous tension réduite si on veut $I_{1cc}=I_{1n}$ $I_{1cc}=\frac{V_{1cc}}{z_{cc}\frac{V_{1n}}{I_{1n}}}$ Donc $V_{1cc}=z_{cc}V_{1n}$ En pratique, on fait croitre $V_1$ de 0 jusqu'à la valeur $V_1=V_{1cc}$ pour laquelle $I_{1cc}=I_{1n}$ ou $I_{2cc}=I_{2n}$, on en déduit $z_{cc}$ Une mesure des puissance P et Q et du courant permet de déterminer R et N$\omega$. $P_{cc}=(3)R_1I_1^2+\frac{V_{1cc}^2}{R_f}$ $\frac{V_{1cc}^2}{R_f}$ sont les pertes fer négligeables car $V_{1cc}$ = 10% de $V_{1n}$ $Q_{cc}=(3)N_1\omega I_1^2=(3)N_2\omega I_2^2$ R et N$\omega$ ### 2/ En charge en charge sur impédance $\underline{Z}$ #### a/ Relation de Kapp Schéma 48 Approximation Kapp : le module de RI+jXI est faible par rapport à celui de $V_2$ et l'angle $\delta$ est donc lui aussi très faible. $\delta\sim 0\Rightarrow sin\delta\sim\delta$ et $cos \delta \sim 1$ En projettant horizontalement : $mV_1cos\delta=$XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX #### b/ Tension de sortie en fonction de la nature de la charge * charge R $\phi$=0, $mV_1>V_2$ où $mV_1$ est la tension à vide du 2e transfo XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Ex : si tan $\phi$ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx #### c/ Rendement $r=\frac{Puissance\-active\-délivrée}{Puissance\-active\-reçue}=\frac{P_2}{P_1}=\frac{(3)V_2I_2cos\phi_2}{(3)V_1I_1cos\phi_1}=\frac{(3)V_2I_2cos\phi_2}{(3)V_2I_2cos\phi_2+(3)R_2I2^2+(3)\frac{V_1^2}{R_F}}$ r vaut 98%, 99% au point de fonctionnement nominal mais pertes à vide non négligeables ($\frac{V_1^2}{R_f}\sim RI_{2n}^2$, en p.u. $1/r_f\sim r$) ## III/ Transformateur triphasé ### 1/ structure - 3 transfo mono - transfo triphasé transfo à 4 ou 5 colonnes : Schéma 50 $V_a(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)=n_a\frac{d\Phi_a}{dt}$ $V_b(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-2\pi/3)=n_b\frac{d\Phi_b}{dt}$ $V_c(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-4\pi/3)=n_c\frac{d\Phi_c}{dt}$ par intégration autour d'une valeur moyenne de flux nulle $\phi_a(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_a\omega}sin(\omega t)$ $\phi_b(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_b\omega}sin(\omega t-2\pi/3)$ $\phi_c(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_c\omega}sin(\omega t-4\pi/3)$ si $n_a=n_b=n_c$ {$\phi_a(t), \phi_b(t), \phi_c(t)$} est un système triphasé $\phi_a(t)+\phi_b(t)+\phi_c(t)=0$ Seules les 3 colones autour desquelles sont bobinés les enroulenements sont parcourus par du flux. Transformateur à 3 colonnes : Schéma 51 ### 2/ Couplage #### a/ Couplage YY $m=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\underline{V_2}}{\underline{V_1}}=\frac{\underline{U_2}}{\underline{U_1}}$ #### b/ Couplage $\Delta\Delta$ Schéma 52 $m=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\underline{V_2}}{\underline{V_1}}=\frac{\underline{U_2}}{\underline{U_1}}$ #### c/ Couplage $\Delta Y_n$ n pour présence de neutre ex : transfo de distribution HTA/BT 20kV/400V Schéma 53 $\frac{\underline{V_{2a}}}{\underline{U_{1ab}}}=\frac{n_2}{n_1}$ $U_{1ab}=\underline{V_{1a}}-\underline{V_{1b}}=\sqrt{3}V_{1a}e^{+j\frac{\pi}{6}}$ $m=\frac{\underline{V_{2a}}}{\underline{V_{1a}}}=\frac{\underline{V_{2a}}\underline{U_{1ab}}}{\underline{V_{1a}}\underline{U_{1ab}}}=\frac{n_2}{n_1}\sqrt{3}e^{+j\frac{\pi}{6}}$ ### 3/ Puissance Système équilibré $P=\sqrt{3}UIcos\phi=3VIcos\phi$ $Q=\sqrt{3}UIsin\phi=3VIsin\phi$ $S=\sqrt{3}UI=\sqrt{P^2+Q^2}$ On dimensionne un transfo tri pour $S_n$ triphasé et une tension entre phase : $S_n=\sqrt{3}U_nI_n$ \newpage # Chapitre 5 : Conversion életromécanique ## I/ Energie d'un système électromécanique Schéma 54 ### 1/ Bilan d'energie Schéma 55 Pertes Joule, fer sont modélisées en dehors du système. La puissance éléctrique est fournie par l'enroulement. $dW_{elec}=\sum_iv_u(t)i_i(t)dt$ $dW_{elec}=dW_{méca}+dW_{mag}$ $dW_{méca}=Cd\theta$ en rotation $dW_{méca}=Fdx$ en translation $v_1(t)=\frac{d\Phi_i}{dt}$ $dW_{elec}=\sum_ii_id\Phi_i=Cd\theta+dW_{mag}=Fdx+dW_{mag}$ ### 2/ Calcul de l'énergie magnétique en négligeant l'hystérisis, l'énergie magnétique du système dépend de son état : - mécanique : position des axes \theta, x - magnétique : B et H, ou $\Phi$ et $i_i$ On peut exprimer l'énergie magnétique emmagasinée par le système, en considérant son évolution depuis un état démagnétisé à $i_i=0$ et en bloquant les pièces en mouvement. $dW_{mag}=dW_{elec}=\sum_i\i_i\Phi_i$ $W_{mag}=\sum_i\int_0^{\Phi_i}i_id\Phi_i$ à $\theta$ constant ### 3/ Cas d'un système linéaire $\Phi_i=\sum_jM_{ij}i_j$ $M_{ij}$ : inductance mutuelle entre (i) et (j) si i$\neq$j $M_{ii}=L_i$ : inductance propre de l'enroulement $dW_{mag}=\sum_ii_id\Phi_i=\sum_ii_i\sum_jm_{ij}di_j$ $d\Phi_i=d(\sum_j m_{ij}i_j=\sum_j i_jdm_{ij}+\sum_j m_{ij}di_j$ axes bloqués $dm_{ij}=0$ $dW_mag=\sum_i\sum_jm_{ij}i_i=\sum_jd_{ij}\sum_im_{ij}i_i$ Or m_{ij}=m_{ji} $dW_mag=\sum_jdi_j\sum_im_{ji}i_i$ Or $\sum_im_{ji}i_i=\Phi_j$ $dW_{mag}=\sum_j\theta_jdi_j$ De plus, $d(\sum_i\theta_idi_i)=\sum_i\Phi_idi_i+\sum_ii_id\Phi_i$ Avec $dW_{mag}=\sum_ii_id\Phi_i=\sum\Phi_idi_i$ $dW_{mag}=\frac{1}{2}d(\sum_i\Phi_ii_i)$ $W_{mag}=\intdW_{mag}=\frac{1}{2}\sum_i\Phi_ii_i$ $\Phi_i=\sum_jm_{ij}i_j$ **$W_{mag}=\frac{1}{2}\sum_il_ii_i^2+\sum_{i>j}m_{ij}i_ii_j$** Schéma 56 ### 4/ Expression par le schéma équivalent Energie magnétique contenue dans un élément de tube de section $\delta S$ et de longueur $\delta l$ $W=\int_{Volume} (\int_0^BHdB)\delta l\delta S$=\int_{Volume}\int_0^BHdld(B\delta S) la f.m.m $Hdl=\Re\phi$ $\Re=\frac{\delta l}{\mu\delta S}$ $W=\int_{Tubes}\int_0^{\phi}\Re_{\phi}d\phi$ sur un nombre discret de tubes, **$W=\sum_{Tubes j}\frac{1}{2}\Re_j\phi_j^2$** ### 5/ Coénergie On définit la coénergie pour exprimer l'état énergétique du système en fonction des variations de courant à flux constant. Bilan de puissance : $\sum_ii_id\Phi_i=dW_{mag}+Cd\theta$ $\sum_ii_id\phi_i=\sum_id(i_i\Phi_i)-\sum_i\Phi_idi_i$ $\sum_id(i_i\Phi_i)-dW_{mag}=\sum_i\Phi_idi_+Cd\theta=dW_{mag}^'$ On définit **$W_{mag}^'=sum_ii_i\Phi_i-W_{mag}$** ** Coénergie du système magnétique cas de système linéaire $W_{mag}=\frac{1}{2}\sum_i\phi_ii_i\RightarrowW_{mag}=W_{mag}^'$ ### 6/ Expression local de la coénergie $w=\int_0^BHdB$ $w^'=\int_0^HBdH$ $W^'=\int_{vol}w^'dv$ Schéma 57