plop

.gitignore

@@ -1,6 +1,232 @@
 
 # Created by https://www.gitignore.io/api/vim,python
 
+
+### LaTeX ###
+## Core latex/pdflatex auxiliary files:
+*.aux
+*.lof
+*.log
+*.lot
+*.fls
+*.out
+*.toc
+*.fmt
+*.fot
+*.cb
+*.cb2
+
+## Intermediate documents:
+*.dvi
+*.xdv
+*-converted-to.*
+# these rules might exclude image files for figures etc.
+# *.ps
+# *.eps
+# *.pdf
+
+## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:"
+.pdf
+
+## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber):
+*.bbl
+*.bcf
+*.blg
+*-blx.aux
+*-blx.bib
+*.run.xml
+
+## Build tool auxiliary files:
+*.fdb_latexmk
+*.synctex
+*.synctex(busy)
+*.synctex.gz
+*.synctex.gz(busy)
+*.pdfsync
+*Notes.bib
+
+## Auxiliary and intermediate files from other packages:
+# algorithms
+*.alg
+*.loa
+
+# achemso
+acs-*.bib
+
+# amsthm
+*.thm
+
+# beamer
+*.nav
+*.pre
+*.snm
+*.vrb
+
+# changes
+*.soc
+
+# cprotect
+*.cpt
+
+# elsarticle (documentclass of Elsevier journals)
+*.spl
+
+# endnotes
+*.ent
+
+# fixme
+*.lox
+
+# feynmf/feynmp
+*.mf
+*.mp
+*.t[1-9]
+*.t[1-9][0-9]
+*.tfm
+
+#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar
+*.end
+*.?end
+*.[1-9]
+*.[1-9][0-9]
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+*.[1-9]R
+*.[1-9][0-9]R
+*.[1-9][0-9][0-9]R
+*.eledsec[1-9]
+*.eledsec[1-9]R
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+*.eledsec[1-9][0-9][0-9]
+*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R
+
+# glossaries
+*.acn
+*.acr
+*.glg
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+*.glsdefs
+
+# gnuplottex
+*-gnuplottex-*
+
+# gregoriotex
+*.gaux
+*.gtex
+
+# hyperref
+*.brf
+
+# knitr
+*-concordance.tex
+# TODO Comment the next line if you want to keep your tikz graphics files
+*.tikz
+*-tikzDictionary
+
+# listings
+*.lol
+
+# makeidx
+*.idx
+*.ilg
+*.ind
+*.ist
+
+# minitoc
+*.maf
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+*.mlt
+*.mtc[0-9]*
+*.slf[0-9]*
+*.slt[0-9]*
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+_minted*
+*.pyg
+
+# morewrites
+*.mw
+
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+*.nlo
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+*.pax
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+*.pdfpc
+
+# sagetex
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+*.sympy
+sympy-plots-for-*.tex/
+
+# pdfcomment
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+pythontex-files-*/
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+# TikZ & PGF
+*.dpth
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+*.auxlock
+
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+*.tdo
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+*.lod
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+# xindy
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+TSWLatexianTemp*
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+.texpadtmp
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+*.backup
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+# KBibTeX
+*~[0-9]*
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+# auto folder when using emacs and auctex
+/auto/*
+
+# expex forward references with \gathertags
+*-tags.tex
+
+
 ### Python ###
 # Byte-compiled / optimized / DLL files
 __pycache__/

compte_rendu/MyPack2.sty

@@ -21,6 +21,7 @@
 \RequirePackage{listings}
 \RequirePackage{graphicx}
 \RequirePackage{amsfonts}
+\RequirePackage{amsmath}
 
 
 

compte_rendu/compte_rendu.aux

@@ -1,23 +1,43 @@
 \relax 
+\catcode `:\active 
+\catcode `;\active 
+\catcode `!\active 
+\catcode `?\active 
 \select@language{french}
 \@writefile{toc}{\select@language{french}}
 \@writefile{lof}{\select@language{french}}
 \@writefile{lot}{\select@language{french}}
-\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Différentes positions possible de points par rapport à $A$ et $B$\relax }}{3}}
+\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Diff\IeC {\'e}rentes positions possible de points par rapport \IeC {\`a} $A$ et $B$\relax }}{3}}
 \providecommand*\caption@xref[2]{\@setref\relax\@undefined{#1}}
 \newlabel{fig:positionsC}{{1}{3}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {part}{I\hspace  {1em}Objectifs de ce TL}{3}}
-\@writefile{toc}{\contentsline {part}{II\hspace  {1em}Génération de carte routière réaliste}{3}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {part}{II\hspace  {1em}G\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de carte routi\IeC {\`e}re r\IeC {\'e}aliste}{3}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {1}Condition pour un graphe de Gabriel}{3}}
 \newlabel{eq:condArete}{{1}{3}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{preuve :}{3}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Mise en pratique : graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}}
-\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Création de graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Cr\IeC {\'e}ation de graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}}
 \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Graphe de gabriel\relax }}{4}}
 \newlabel{fig:2_4_gabriel}{{2}{4}}
 \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Graphe de voisinage realtif\relax }}{5}}
 \newlabel{fig:2_4_gvr}{{3}{5}}
+\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {4}{\ignorespaces R\IeC {\'e}seau g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}r\IeC {\'e}\relax }}{6}}
+\newlabel{fig:2_5}{{4}{6}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}G\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration d'un r\IeC {\'e}seau}{6}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.3}Temps de g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration d'un r\IeC {\'e}seau}{6}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3}Triangulation de Delaunay}{6}}
 \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Pratique}{6}}
-\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Aspect théorique}{6}}
-\@writefile{toc}{\contentsline {part}{III\hspace  {1em}Algorithme de Dijkstra pour la recherche du plus court chemin}{6}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Aspect th\IeC {\'e}orique}{6}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.1}Condition pour un graphe de Delaunay}{6}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{preuve:}{6}}
+\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {5}{\ignorespaces Cas o\IeC {\`u} le graphe de Delaunay n'est pas planaire.\relax }}{7}}
+\newlabel{fig:delaunayPasPlanaire}{{5}{7}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.2}Le graphe de Delaunay est planaire}{7}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{preuve}{7}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.3}Le graphe de Delaunay est une triangulation}{7}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{preuve}{7}}
+\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {6}{\ignorespaces Maille polygonale.\relax }}{8}}
+\newlabel{fig:maillePolygonale}{{6}{8}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.4}Condition sur les faces}{8}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{preuve}{8}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {part}{III\hspace  {1em}Algorithme de Dijkstra pour la recherche du plus court chemin}{8}}

compte_rendu/compte_rendu.lof

@@ -1,4 +1,7 @@
 \select@language {french}
-\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Différentes positions possible de points par rapport à $A$ et $B$\relax }}{3}
+\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Diff\IeC {\'e}rentes positions possible de points par rapport \IeC {\`a} $A$ et $B$\relax }}{3}
 \contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Graphe de gabriel\relax }}{4}
 \contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Graphe de voisinage realtif\relax }}{5}
+\contentsline {figure}{\numberline {4}{\ignorespaces R\IeC {\'e}seau g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}r\IeC {\'e}\relax }}{6}
+\contentsline {figure}{\numberline {5}{\ignorespaces Cas o\IeC {\`u} le graphe de Delaunay n'est pas planaire.\relax }}{7}
+\contentsline {figure}{\numberline {6}{\ignorespaces Maille polygonale.\relax }}{8}

compte_rendu/compte_rendu.tex

@@ -91,6 +91,13 @@ En combinant la génération de graphe de Gabriel et de voisinage relatif, on pe
 \end{figure}
 
 \subsection{Temps de génération d'un réseau}
+La figure \ref{fig:reseaunaiflog} montre le temps nécessaire à la création d'un réseau. 
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{images/reseau_naif_log}
+	\caption{}
+	\label{fig:reseaunaiflog}
+\end{figure}
 
 
 
@@ -98,6 +105,98 @@ En combinant la génération de graphe de Gabriel et de voisinage relatif, on pe
 \subsection{Pratique}
 \subsection{Aspect théorique}
 
+\subsubsection{Condition pour un graphe de Delaunay}
+Pour toute paire $\{A,B\}$ de points de $\mathcal{V}$, si on appelle $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ les deux demis plans fermés de frontière $(A,B)$ privés de $A$ et $B$, alors $\{A,B\}$ est une arête de la triangulation de Delaunay sit et seulement si 
+\[
+\forall C\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} + \widehat{ADB} \leq \pi
+\]
+\paragraph{preuve:}
+Supposons que $\{A,B\}$ soit une arête. Il existe donc un cercle $\mathcal{C}$ d'intérieur vide avec $A$ et $B$ sur le cercle. Cela correspond aux lignes $\mathcal{L}(\theta, A, B)$ et $\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B)$. Quitte à renommer $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$, on peut supposer que le premier contour correspond à $\mathcal{P}$. On a donc :
+\begin{align}
+	\forall C \in  \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} < \theta \\
+	\forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ADB} < \theta - \pi
+\end{align}
+
+Ainsi :
+\[
+\forall C\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} + \widehat{ADB} \leq \pi
+\]
+
+Supposons maintenant que :
+\[
+\forall C\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} + \widehat{ADB} \leq \pi
+\]
+
+Posons :
+\begin{align}
+	m_p &= \max_{C\in \mathcal{P}\cap\mathcal{V}} \widehat{ACB} \\
+	m_{p'} &= \max_{D\in \mathcal{P}'\cap\mathcal{V}} \widehat{ADB}
+\end{align}
+
+On a donc
+\[
+m_p + m_{p'} \leq \pi
+\]
+
+D'après le théorème de l'ange inscrit, si on pose $\theta = \max \{m_p, m_{p'}\}$, les contours $\mathcal{L}(\theta, A, B) \cap \mathcal{P}$ et $\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B) \cap \mathcal{P}'$ forment un cercle d'intérieur vide avec $A$ et $B$ sur le cercle.
+$\Box$
+
+\subsubsection{Le graphe de Delaunay est planaire}
+On remarque qu'il existe des configurations pour lesquelles cette assertion est fausse, par exemple la figure \ref{fig:delaunayPasPlanaire}. On va donc supposer que les configurations défavorables (4 points sur un cercle) ont une probabilité nulle d'être rencontrées.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+	\draw (2,2) circle (2*1.41);
+	\draw[dashed] (0,0) node [anchor=north east](A){A} (0,0)  -- (4,0) node[anchor=north west](C){C}
+	-- (4,4) node[anchor=south west](B){B} -- (0,4) node[anchor=south east](D){D} -- (0,0);
+	\draw (0,0) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (4,4) node[circle, draw=black, fill=white]{};  \draw(0,4) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (4,0) node[circle, draw=black, fill=white]{};
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Cas où le graphe de Delaunay n'est pas planaire.}
+	\label{fig:delaunayPasPlanaire}
+\end{figure}
+
+\paragraph{preuve} Si l'on suppose qu'il existe deux arêtes $\{A,B\}$ et $\{C,D\}$ qui se croisent, on a alors $\widehat{ADB} + \widehat{ACB} < \pi$ et  $\widehat{DBC} + \widehat{DAC} < \pi$. Or $ABCD$ est un quadrilatère, donc $\widehat{ADB} + \widehat{ACB} + \widehat{DBC} + \widehat{DAC} = 2 \pi$, contradiction. $\Box$
+
+\subsubsection{Le graphe de Delaunay est une triangulation}
+Montrons que le graphe de Delaunay est une triangulation.
+
+\paragraph{preuve} Supposons qu'il existe une face polygonale à plus de 3 côtés dans le graphe de Delaunay. On choisit quatre points $A,B,C,D$ de cette faces tels que $\{A,C\}$ et $\{B,D\}$ peuvent être des arêtes, mais pas $\{A,B\}$ et $\{C,D\}$. On a par exemple une maille semblable à la figure \ref{fig:maillePolygonale}.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+	
+	\draw (0,0) node[anchor=north east]{A} node[circle, draw=black, fill=black]{} -- (1,3) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (3,5) node[circle, draw=black, fill=black]{} node[anchor=south west]{D} -- (4,4) node[circle, draw=black, fill=black]{} node[anchor=south west]{B} -- (5,2) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (3,1)node[circle, draw=black, fill=black]{} node[anchor=north west]{C} -- (0,0);
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Maille polygonale.}
+	\label{fig:maillePolygonale}
+\end{figure}
+
+On a alors :
+\begin{eqnarray}
+\widehat{ACB} + \widehat{ADB} > \pi \\
+\widehat{CAD} + \widehat{CBD} > \pi \\
+\end{eqnarray}
+Puisque $ACDB$ est un quadrilatère, la somme de ses angles devrait être de $2\pi$, ce qui est absurde ici. $\Box$
+
+\subsubsection{Condition sur les faces}
+Montrons tout triplet $\{A,B,C\} \subseteq \mathcal{V}$ est une face de la triangulation si et seulement si le disque du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est vide de tout point de $\mathcal{V}$ autre que $A,B,C$.
+\paragraph{preuve} 
+Supposons que le disque du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit à $ABC$ soit vide de tout point. On va montrer que l'arête ${A,B}$ existe. On pose $\theta = \widehat{ACB}$. On a alors $\mathcal{C} = (\mathcal{L}(\theta, A, B) \cap \mathcal{P}) \cup (\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B)\cap \mathcal{P}')$. Puisque le disque est vide,
+\[
+\forall D \in \mathcal{P}'\cap\mathcal{V}, \widehat{ADB} < \pi - \theta
+\]
+
+Donc, puisque $C$ est le point de plus grand angle sur $\mathcal{P}$ :
+\[
+\forall E\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{AEB} + \widehat{ADB} \leq \pi
+\]
+Donc l'arête $\{A,B\}$ existe. On montre de la même façon que  $\{A,C\}$ et $\{C,B\}$ existent.
+
+Supposons que $\{A,B,C\}$ soit une face de la triangulation. En particulier, $C$ est alors le point de plus grand angle $\widehat{ACB} = \theta$ sur $\mathcal{P}$. Puisque $\{A,B\}$ est une arête, d'après le lemme, tout point $D\in\mathcal{P}'\cap\mathcal{V}$ est d'angle $\widehat{ADB}$ plus petit que $\pi - \theta$. Donc un tel point $D$ ne peut être dans le disque délimité par $(\mathcal{L}(\theta, A, B) \cap \mathcal{P}) \cup (\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B)\cap \mathcal{P}')$. $\square$
+
+
 \part{Algorithme de Dijkstra pour la recherche du plus court chemin}
 
 

compte_rendu/compte_rendu.toc

@@ -1,11 +1,21 @@
 \select@language {french}
 \contentsline {part}{I\hspace {1em}Objectifs de ce TL}{3}
-\contentsline {part}{II\hspace {1em}Génération de carte routière réaliste}{3}
+\contentsline {part}{II\hspace {1em}G\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration de carte routi\IeC {\`e}re r\IeC {\'e}aliste}{3}
 \contentsline {section}{\numberline {1}Condition pour un graphe de Gabriel}{3}
 \contentsline {paragraph}{preuve :}{3}
 \contentsline {section}{\numberline {2}Mise en pratique : graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}
-\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Création de graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}
+\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Cr\IeC {\'e}ation de graphe de Gabriel et de voisinage relatif}{3}
+\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}G\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration d'un r\IeC {\'e}seau}{6}
+\contentsline {subsection}{\numberline {2.3}Temps de g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ration d'un r\IeC {\'e}seau}{6}
 \contentsline {section}{\numberline {3}Triangulation de Delaunay}{6}
 \contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Pratique}{6}
-\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Aspect théorique}{6}
-\contentsline {part}{III\hspace {1em}Algorithme de Dijkstra pour la recherche du plus court chemin}{6}
+\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Aspect th\IeC {\'e}orique}{6}
+\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.1}Condition pour un graphe de Delaunay}{6}
+\contentsline {paragraph}{preuve:}{6}
+\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.2}Le graphe de Delaunay est planaire}{7}
+\contentsline {paragraph}{preuve}{7}
+\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.3}Le graphe de Delaunay est une triangulation}{7}
+\contentsline {paragraph}{preuve}{7}
+\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.2.4}Condition sur les faces}{8}
+\contentsline {paragraph}{preuve}{8}
+\contentsline {part}{III\hspace {1em}Algorithme de Dijkstra pour la recherche du plus court chemin}{8}