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\documentclass[french]{article}
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\usepackage{pgfplots}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{arrows,automata}
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\usepackage{MyPack2}
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\usepackage{diagbox}
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\geometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm}
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\title{Étude de laboratoire - ASD}
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\author{Binôme A11 \\ \bsc{Simon} Léo, \bsc{Levy--Falk} Hugo \\ Supélec, promo 2020}
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\date{\today}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\clearpage
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\listoffigures
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\newpage
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\initPage{TL - ASD}{\today}{\bsc{Simon}, \bsc{Levy--Falk}}
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\part{Objectifs de ce TL}
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\part{Génération de carte routière réaliste}
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\section{Condition pour un graphe de Gabriel}
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En notant $\mathcal{V} = \{P_i\}_{1\leq i\leq n}$ un nuage de $n \in \N$ points dans le plan représentants des villes, on définit pour tout $ A,B \in \mathcal{V}, d(A,B)$ la distance à vol d'oiseau entre les deux villes. On décide de placer une arête entre deux points $A$ et $B$ du plan si et seulement si,
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\begin{equation}
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\forall C \in \mathcal{V}, \forall M \in [A,B], d(M,V) \geq \min \{d(M,A), d(M,B)\} \label{eq:condArete}
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\end{equation}
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Montrons que la condition \ref{eq:condArete} est équivalente à ce que pour toute paire de sommets $(A,B)$ du nuage, $\{A,B\}$ forme une arête si et seulement si il n'existe pas de points $C \in \mathcal{V}$ dans le cercle de diamètre $[A,B]$. Un graphe vérifiant cette condition sera par la suite appelé \emph{graphe de Gabriel}.
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\paragraph{preuve :} {
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Soient $A,B \in \mathcal{V}$ et on appelle $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre $[A,B]$. La figure \ref{fig:positionsC} montre différentes positions possibles de points.
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Supposons qu'il existe une arête reliant les deux points. Si il existe des points du nuage dans le disque ouvert délimité par $\mathcal{C}$, alors il existe un point $M$ qui ne vérifie pas la condition \ref{eq:condArete}, \emph{absurde}.
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Réciproquement, si tous les points de $\mathcal{V}$ sont à l'extérieur du cercle ouvert délimité par $\mathcal{C}$, (dans l'exemple $C'$ et $C''$), alors pour tout $P\in \mathcal{V}\ \{A,B\}$, le point $M\in[A,B]$ le plus proche de $P$ vérifie la condition \ref{eq:condArete} (dans l'exemple, les points $M'$ et $M''$).$\square$
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\begin{figure}
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw[dashed] (4,0) circle (4);
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\draw (0,0) node [anchor=east]{A} -- (8,0) node[anchor=west]{B};
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% intérieur
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\draw[dashed] (8,0) -- (5,2) node[anchor=south]{C} -- (0,0);
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\draw[green] (5,2) -- (5,0) node[anchor=north]{M} -- (5,0.2) -- (5.2,0.2)--(5.2,0);
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\draw[green,dashed] (5,0) circle (2);
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% frontière
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\draw[dashed] (8,0) -- (1.16,2.828) node[anchor=south]{C'} -- (0,0);
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\draw[orange] (1.16,2.828) -- (1.16,0) node[anchor=north west]{M'} -- (1.16,0.2) -- (1.36,0.2)--(1.36,0);
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\draw[orange,dashed] (1.16,0) circle (1.16);
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% extérieur
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\draw[dashed] (8,0) -- (7.4,-4) node[anchor=north]{C''} -- (0,0);
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\draw[red] (7.4,-4) -- (7.4,0) node[anchor=north east]{M''} -- (7.4,-0.2) -- (7.6,-0.2)--(7.6,0);
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\draw[red,dashed] (7.4,0) circle (0.6);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Différentes positions possible de points par rapport à $A$ et $B$}
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\label{fig:positionsC}
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\end{figure}
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}
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\section{Mise en pratique : graphe de Gabriel et de voisinage relatif}
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\subsection{Création de graphe de Gabriel et de voisinage relatif}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=1\linewidth]{images/2_4_gabriel}
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\caption{Graphe de gabriel}
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\label{fig:2_4_gabriel}
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\end{figure}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=1\linewidth]{images/2_4_gvr}
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\caption{Graphe de voisinage realtif}
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\label{fig:2_4_gvr}
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\end{figure}
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En traçant les graphes de Gabriel (figure \ref{fig:2_4_gabriel}) et de voisinage relatif (figure \ref{fig:2_4_gvr}), on observe que le second est inclus dans le premier.
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\subsection{Génération d'un réseau}
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En combinant la génération de graphe de Gabriel et de voisinage relatif, on peut générer un réseau routier, comme le montre la figure \ref{fig:2_5}.
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=1\linewidth]{images/2_5}
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\caption{Réseau généré}
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\label{fig:2_5}
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\end{figure}
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\subsection{Temps de génération d'un réseau}
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La figure \ref{fig:reseaunaiflog} montre le temps nécessaire à la création d'un réseau.
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=0.7\linewidth]{images/reseau_naif_log}
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\caption{}
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\label{fig:reseaunaiflog}
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\end{figure}
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\section{Triangulation de Delaunay}
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\subsection{Pratique}
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\subsection{Aspect théorique}
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\subsubsection{Condition pour un graphe de Delaunay}
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Pour toute paire $\{A,B\}$ de points de $\mathcal{V}$, si on appelle $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ les deux demis plans fermés de frontière $(A,B)$ privés de $A$ et $B$, alors $\{A,B\}$ est une arête de la triangulation de Delaunay sit et seulement si
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\[
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\forall C\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} + \widehat{ADB} \leq \pi
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\]
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\paragraph{preuve:}
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Supposons que $\{A,B\}$ soit une arête. Il existe donc un cercle $\mathcal{C}$ d'intérieur vide avec $A$ et $B$ sur le cercle. Cela correspond aux lignes $\mathcal{L}(\theta, A, B)$ et $\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B)$. Quitte à renommer $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$, on peut supposer que le premier contour correspond à $\mathcal{P}$. On a donc :
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\begin{align}
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\forall C \in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} < \theta \\
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\forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ADB} < \theta - \pi
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\end{align}
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Ainsi :
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\[
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\forall C\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} + \widehat{ADB} \leq \pi
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\]
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Supposons maintenant que :
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\[
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\forall C\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{ACB} + \widehat{ADB} \leq \pi
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\]
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Posons :
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\begin{align}
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m_p &= \max_{C\in \mathcal{P}\cap\mathcal{V}} \widehat{ACB} \\
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m_{p'} &= \max_{D\in \mathcal{P}'\cap\mathcal{V}} \widehat{ADB}
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\end{align}
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On a donc
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\[
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m_p + m_{p'} \leq \pi
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\]
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D'après le théorème de l'ange inscrit, si on pose $\theta = \max \{m_p, m_{p'}\}$, les contours $\mathcal{L}(\theta, A, B) \cap \mathcal{P}$ et $\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B) \cap \mathcal{P}'$ forment un cercle d'intérieur vide avec $A$ et $B$ sur le cercle.
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$\Box$
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\subsubsection{Le graphe de Delaunay est planaire}
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On remarque qu'il existe des configurations pour lesquelles cette assertion est fausse, par exemple la figure \ref{fig:delaunayPasPlanaire}. On va donc supposer que les configurations défavorables (4 points sur un cercle) ont une probabilité nulle d'être rencontrées.
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\begin{figure}
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw (2,2) circle (2*1.41);
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\draw[dashed] (0,0) node [anchor=north east](A){A} (0,0) -- (4,0) node[anchor=north west](C){C}
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-- (4,4) node[anchor=south west](B){B} -- (0,4) node[anchor=south east](D){D} -- (0,0);
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\draw (0,0) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (4,4) node[circle, draw=black, fill=white]{}; \draw(0,4) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (4,0) node[circle, draw=black, fill=white]{};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Cas où le graphe de Delaunay n'est pas planaire.}
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\label{fig:delaunayPasPlanaire}
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\end{figure}
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\paragraph{preuve} Si l'on suppose qu'il existe deux arêtes $\{A,B\}$ et $\{C,D\}$ qui se croisent, on a alors $\widehat{ADB} + \widehat{ACB} < \pi$ et $\widehat{DBC} + \widehat{DAC} < \pi$. Or $ABCD$ est un quadrilatère, donc $\widehat{ADB} + \widehat{ACB} + \widehat{DBC} + \widehat{DAC} = 2 \pi$, contradiction. $\Box$
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\subsubsection{Le graphe de Delaunay est une triangulation}
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Montrons que le graphe de Delaunay est une triangulation.
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\paragraph{preuve} Supposons qu'il existe une face polygonale à plus de 3 côtés dans le graphe de Delaunay. On choisit quatre points $A,B,C,D$ de cette faces tels que $\{A,C\}$ et $\{B,D\}$ peuvent être des arêtes, mais pas $\{A,B\}$ et $\{C,D\}$. On a par exemple une maille semblable à la figure \ref{fig:maillePolygonale}.
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\begin{figure}
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0) node[anchor=north east]{A} node[circle, draw=black, fill=black]{} -- (1,3) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (3,5) node[circle, draw=black, fill=black]{} node[anchor=south west]{D} -- (4,4) node[circle, draw=black, fill=black]{} node[anchor=south west]{B} -- (5,2) node[circle, draw=black, fill=white]{} -- (3,1)node[circle, draw=black, fill=black]{} node[anchor=north west]{C} -- (0,0);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Maille polygonale.}
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\label{fig:maillePolygonale}
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\end{figure}
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On a alors :
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\begin{eqnarray}
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\widehat{ACB} + \widehat{ADB} > \pi \\
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\widehat{CAD} + \widehat{CBD} > \pi \\
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\end{eqnarray}
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Puisque $ACDB$ est un quadrilatère, la somme de ses angles devrait être de $2\pi$, ce qui est absurde ici. $\Box$
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\subsubsection{Condition sur les faces}
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Montrons tout triplet $\{A,B,C\} \subseteq \mathcal{V}$ est une face de la triangulation si et seulement si le disque du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est vide de tout point de $\mathcal{V}$ autre que $A,B,C$.
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\paragraph{preuve}
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Supposons que le disque du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit à $ABC$ soit vide de tout point. On va montrer que l'arête ${A,B}$ existe. On pose $\theta = \widehat{ACB}$. On a alors $\mathcal{C} = (\mathcal{L}(\theta, A, B) \cap \mathcal{P}) \cup (\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B)\cap \mathcal{P}')$. Puisque le disque est vide,
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\[
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\forall D \in \mathcal{P}'\cap\mathcal{V}, \widehat{ADB} < \pi - \theta
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\]
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Donc, puisque $C$ est le point de plus grand angle sur $\mathcal{P}$ :
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\[
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\forall E\in \mathcal{P}\cap \mathcal{V}, \forall D \in \mathcal{P}' \cap \mathcal{V}, \widehat{AEB} + \widehat{ADB} \leq \pi
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\]
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Donc l'arête $\{A,B\}$ existe. On montre de la même façon que $\{A,C\}$ et $\{C,B\}$ existent.
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Supposons que $\{A,B,C\}$ soit une face de la triangulation. En particulier, $C$ est alors le point de plus grand angle $\widehat{ACB} = \theta$ sur $\mathcal{P}$. Puisque $\{A,B\}$ est une arête, d'après le lemme, tout point $D\in\mathcal{P}'\cap\mathcal{V}$ est d'angle $\widehat{ADB}$ plus petit que $\pi - \theta$. Donc un tel point $D$ ne peut être dans le disque délimité par $(\mathcal{L}(\theta, A, B) \cap \mathcal{P}) \cup (\mathcal{L}(\pi - \theta, A, B)\cap \mathcal{P}')$. $\square$
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\part{Algorithme de Dijkstra pour la recherche du plus court chemin}
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