From 357fa0a2fc6e490116eeeeb1a758425ed2447128 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: hschindler Date: Fri, 9 Mar 2018 15:56:12 +0100 Subject: [PATCH] Add new file --- Cours.md | 2051 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 2051 insertions(+) create mode 100644 Cours.md diff --git a/Cours.md b/Cours.md new file mode 100644 index 0000000..250cdfa --- /dev/null +++ b/Cours.md @@ -0,0 +1,2051 @@ +--- +title: "Principes et composants de l'électrotechnique" +author: [SCHINDLER Hugo] +date: \today +titlepage: true +... + +\newpage + + +# Chapitre 1 : Introduction à l'électrotechnique + +1T d'eau sur 400m pour 1kWh + +**Électrotechnique** : Discipline traitant des dispositifs ou des systèmes mettant en jeu de l'énergie sous forme "électrique". + +L'électricité n'est pas une énergie mais un vecteur de l'énergie. + + + +## I/ Production de l'électricité + + + + +###1/ Comment produit-on ? + +Par conversion de puissance mécanique en puissance électrique avec des machines tournantes, machine synchrone. cf TCE 2A + +Génération directe de courant. Photovoltaïque (source de courant) + +Pile combustible ($H_2$) + + + + +###2/ Combien produit-on ? + +102 100 MW (France 2012) + +91 611 MW en 2016 + +En moyenne, 60 000 MW + +eco2000.fr site web + +$\Rightarrow$ 1kW par habitant (tout usage confondu) + +En énergie 2016 1MWh pour 50Euros sur les marchés de gros, Production 527TWh + +- 72.8% Nucléaire +- 12.1% Hydro +- 8.7% Thermique à flamme +- 3.9% Éolien +- 1.6% Photovoltaïque PV +- 0.8% Biomasse + +Consommation 483TWh export, pertes (2% sur grandes lignes et 5% sur basses tension) + + + + + +###3/ Pourquoi ? + +- 25% à 30% utilisation domestique +- 25% secteur tertiaire +- 25% secteur industriel +- 2% à 3% transport + + + +## II/ Le développement de l’électrotechnique dans le monde économique + + + + +###1/ Contraintes environnementales et pollution + +CO$_2$ et réchauffement climatique + +Ressources + +Pollution en ville (particules fines, NO$_X$, bruit) + +Électricité est le principal vecteur entre des ER(Énergie renouvelable) Éolien et PV mais pas le seul et pas toujours le meilleur. + +Smart Grid : + +- intégrant des ER +- maîtrise de la demande +- intégrations des VE (véhicules électrique) + + + + +###2/ Système électrique embarqués + + + + + +#### a/ Automobile + +électrification des VE + +bon rendement + +des réservoir à la roue (13%, max 30% rare), pour une chaîne de motorisation thermique + +de la batterie à la roue (80%) + + + + + +#### b/ Naval + +Propulsion électrique +Pod pour direction + +Catapulte électromagnétique maintenant avec moteur linéaire comparé avec vapeur pneumatique + + + + + +#### c/ aérien + +1MW sur Boeing 787 + +Système pneumatique plus léger que électrique à puissance égale. + +Mais pneumatique plus difficile à entretenir + +Électrique batterie mais de énergie massique + +\newpage + + +# Chapitre 2 : Système électrique en régimes alternatifs sinusoïdal + + + +## I/ Représentations + + + + +###1/ Grandeurs caractéristiques + +I_alternatif $\Leftrightarrow$ valeur moyenne nulle sur la période + +signal sinusoïdale $v(t)=V_{max}cos(\omega t)$ + +Valeur efficace : Root Mean Square RMS : $V_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} v^2(t)dt}$ + +Signal sinusoïdal $V_{eff}=\frac{V_{max}}{\sqrt{2}}$ + +fréquence $\Leftrightarrow$ période $\Leftrightarrow$ pulsation $f=\frac{1}{T}$ $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$ + +Phase et déphasage $\delta=\omega \Delta t$ ou $\Delta t$ est l'écart temporel entre les 2 signaux + +**ATTENTION** : On ne somme pas les valeurs efficaces ! + +Les lois des nœuds et mailles ne s'appliquent pas avec les valeurs efficaces. + + + + +###2/ Représentation des signaux sinusoïdaux à fréquence imposée + + + + + +#### a/ Représentation complexe + +On associe à une grandeur sinusoïdale, $v(t)=V_{eff} 2\pi cos(\omega t+\delta)$ où $\delta$ est une phase déterminée par rapport à une référence choisie par l'utilisateur, + +une référence complexe $\underline{V}=V_{eff}e^{j\delta}$ notation US $V_{RMS}\angle \delta$ + + +c'est la convention spécifique à électrotechnique. + +La f et la pulsation ne sont pas pris en compte dans cette représentation car f est imposée à l'ensemble du circuit et n'est pas nécessaire pour caractériser le signal. + +Valable car dans le cadre de l'ARQS : $\lambda =cT=6000 km à 50Hz$ + + + + + +#### b/ Représentation vectorielle / Diagramme de Fresnel + +Chaque signal est représenté par un vecteur, de longueur représentant la valeur efficace et d'angle représentant la phase du signal par rapport à la référence. + + + + +###3/ Le dipôle régime sinusoïdale + +schéma 1 + + + + + +#### a/ notion d'impédance + +Un dipôle alimenté par $v(t)=V_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t+\delta)$ absorbe (s'il est linéaire) un courant $i(t)=I_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t+\delta+\phi)$. On choisit $\delta=0$ + +v(t) $\Leftrightarrow$ $\underline{V}=V_{eff}e^{j0}=V_{eff}$ + +i(t) $\Leftrightarrow$ $\underline{I}=I_{eff}e^{-j\phi}$ + +On caractérise le dipôle par son impédance $\underline{Z}$ telle que $\underline{Z}=\frac{\underline{V}}{\underline{I}}=Ze^{j\phi}$ où $Z=\frac{V_{eff}}{I_{eff}}$ et $\phi=Arg(\underline{V})-=Arg(\underline{I})$. + + + + + +#### b/ cas de la résistance + +v(t)=R*i(t) + +$\phi=0$ $Z=R$ $\underline{Z}=R$ + +Schéma 2 + + + + + +#### c/ dipôle inductif + +$v(t)=L*\frac{di(t)}{dt}$ + +$Z=L\omega$ $\phi=+\pi/2$ + +$\underline{Z}=jL\omega$ + +Schéma 3 + + + + + +#### d/ dipôle capacitif + +$i(t)=C*\frac{dv(t)}{dt}$ + +$Z=1/C\omega$ $\phi=-\pi/2$ + +$\underline{Z}=1/jC\omega$ + +Schéma 4 + + + +## II/ Puissance dans un système monophasé en régime sinusoïdal + + + + +###1/ Puissance instantanée + +$p(t)=v(t)i(t)$ + +$v(t)=V_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t)$ + +$i(t)=I_{eff} \sqrt{2} cos(\omega t-\phi)$ + +$p(t)=2 V_{eff} I_{eff} cos(\omega t-\phi) cos(\omega t)$ + +$p(t)=V_{eff} I_{eff}(cos(2\omega t)cos(\phi)+sin(2\omega t)sin(\phi)+cos(\phi))$ + + + + +###2/ Puissance active + +$=V_{eff} I_{eff}(++)=V_{eff} I_{eff} cos(\phi)=P$ + +P est la puissance active. C’est la puissance qui contribue au transfert de l'énergie au dipôle, correspond à un travail utile pour le récepteur (peut être convertit en puissance mécanique thermique, unité [W] + + + + +###3/ Puissance réactive + +$p(t)=P(1+cos(2\omega t)+V_{eff} I_{eff} sin(\phi)sin(2\omega t)$ + +$Q=V_{eff} I_{eff} sin(\phi)$ + +$p(t)=P(1+cos(2\omega t)+Qsin(2\omega t)$ + +unité [V A r] Volt ampère réactif + +Q est la puissance réactive et correspond à une oscillation d'énergie entre 2 dipôles, l'un étant conductif, l'autre capacitif. + +* Résistance + +Schéma 5 + +$p(t)=P(1+cos(2\omega t)$ + +* Bobine + +Schéma 6 + +$\phi=+\pi/2$ + +P=0, $Q=V_{eff}I_{eff}$ + +$p(t)=Q sin(2\omega t)$ + +* Capacité + +Schéma 7 + +$\phi=-\pi/2$ + +P=0, $Q=-V_{eff}I_{eff}$ + +$p(t)=Q sin(2\omega t)$ + +exemple schéma 8 + + + + +###4/ Théorème de Boucherot + +Conventions pour la puissance réactive Q + +Q est liée à une oscillation d'énergie la plupart des charges courantes (moteurs, convertisseurs) consomment de la puissance active et sont inductifs $0<\phi<2\pi/2$. Par convention et abus de langage, on dit qu'un dipôle inductif consomme de la puissance réactive, qu'un dipôle capacitif fournit de la puissance réactive. + +|Convention d'orientation du courant|Capacitif|Inductif| +|:---------------------------:|:---------------------------:|:---------------------------:| +|Récepteur|Q<0|Q>0| +|générateur|Q<0|q<0| + +**Théorème de Boucherot** + +La puissance active d'un ensemble de dipôle est égale à la somme algébrique des puissances actives des dipôles de cet ensemble + +La puissance réactive d'un ensemble de dipôle est égale à la somme algébrique des puissances réactives des dipôles de cet ensemble + + +$P=\sum_iP_i$ + +$Q=\sum_iQ_i$ + + + + +###5/ Puissance apparente + +$S=V_{eff}I_{eff}=\sqrt{P^2+Q^2}$ + +Unité [V A] + +On ne peut pas sommer les puissance apparentes. + +$S=\sqrt{(\sum_iP_i)^2+(\sum_iQ_i)^2}\neq\sum_i(P_i^2+Q_i^2)$ + +Utilisé pour le dimensionnement des installations électrique. + +$S_n=V_{effn}I_{effn}$ la puissance apparente nominale. + +la **valeur nominale** d'une grandeur désigne la valeur pour laquelle un équipement à été dimensionnée. + +Exemple l’amphithéâtre + +$I_{effn}\leftrightarrow$ Section des conducteurs + +$V_{effn}\leftrightarrow$ Épaisseur des isolants. Section des circuits magnétiques et nombre de spires des enroulements + +$S_n\Leftrightarrow$ taille/masse/coût + +**Puissance apparente complexe** + +$\underline{S}=\underline{V}.\underline{I}^*=P+jQ=Se^{j\phi}$ + +$\rightarrow$ outil mathématique + +Schéma 9 + + + + +###6/ facteur de puissance. Compensation + +$f_p=\frac{P}{S}$ + +=puissance utile (énergie) transférée/dimensionnement de l'appareil. + +En exploitation, on vise l'obtention de $f_p$ le plus proche de 1. + +En régime sinusoïdale, + +$f_p=\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}=cos{\phi}$ + +pour $f_p\rightarrow 1$ $Q\rightarrow0$ + +Charge connecté au RTE (réseau de transport de l'électricité) + +$\frac{Q}{P}=\frac{sin(\phi)}{cos(\phi)}=tan(\phi)\leq0.4$ + +Une charge inductive devra être compensé pas des bancs de condensateurs (cf TD1 ex2) + +Régine alternatif non sinusoïdale + +$f_p=\frac{P}{S}$ + +Si I non sinusoïdal, + +$I_{eff}=\sqrt{I_{1eff}+I_{2eff}+I_{3eff}+I_{4eff}+I_{5eff}+I_{6eff}+I_{7eff}+...+I_{keff}+...}$ + +Si V est sinusoïdale + +$p_1(t)=v(t)*i_1(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)I_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t - \phi_1)$ + +$=V_{eff}I_{eff}cos(\phi)=P_1$ + +$p_2(t)=v(t)*i_2(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)I_{eff}\sqrt{2}cos(2\omega t - \phi_2)$ + +$=0$ (produit scalaire) + +$=0, k\geq2$ + +$F_p=\frac{P}{S}=\frac{V_{eff}I_{1eff}cos(\phi_1)}{V_{eff}I_{eff}}=\frac{I_{1eff}}{I_{eff}}cos(\phi_1)=f_d.f_{\phi}$ + +$f_d$ est le facteur de déformation, $f_{\phi}$ est le facteur de déphasage. + + + +## III/ Le triphasé + + + + +###1/ Définition d'un système triphasé. + +$\left\{\begin{matrix} +v_1(t)=V_{1eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_1)\\ +v_2(t)=V_{2eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_2-\frac{2\pi}{3})\\ +v_3(t)=V_{3eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\delta_3-\frac{4\pi}{3}) +\end{matrix}\right.$ + +${v_1(t), v_2(t), v_3(t)}$ sont les **tensions simples**, ou tensions phases neutre. + +$V_{1eff}=V_{2eff}=V_{3eff}=V_{eff}$ + +$\delta_1=\delta_2=\delta_3=\delta=0$ + +les 3 phases sont déphasées de $2\pi/3$ les unes par rapport aux autres. + +le système triphasé est **équilibré**. + +${v_1(t), v_2(t), v_3(t)}$ est d'**ordre directe**. + +${v_1(t), v_3(t), v_2(t)}$ est d'**ordre inverse**. + + +$\left\{\begin{matrix} +v_1(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)\\ +v_2(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)\\ +v_3(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t) +\end{matrix}\right.$ + +C'est un système homo-polaire. + +**FORTESCUE** : Un système de tensions (courants) triphasé déséquilibré peut se décomposer en une somme unique de 3 système de tension triphasé équilibrés dont l'un est directe, le secondaire inverse et le 3eme homo-polaire. + + +Diagramme de Fresnel d'un système triphasé équilibré direct. + +Schéma 10 + +Système triphasé équilibré direct (ou inverse) + +$v_1(t)+v_2(t)+v_3(t)=0$ + + + + +###2/ Tension entre phases. + +On définit les tensions entre phases, ou encore **tensions composées** ou tension phase-phase. + +$\left\{\begin{matrix} +U_{12}=v_1(t)-v_2(t)\\ +U_{23}=v_2(t)-v_3(t)\\ +U_{31}=v_3(t)-v_1(t) +\end{matrix}\right.$ + +Pour un système de tensions triphasé équilibré directe, + +$\left\{\begin{matrix} +U_{12}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t+\frac{\pi}{6})\\ +U_{23}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-\frac{\pi}{2})\\ +U_{31}=\sqrt{3}V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-\frac{7\pi}{6}) +\end{matrix}\right.$ + +${U_{12}, U_{23}, U_{31}}$ est un système de tensions triphasé équilibré direct. + +Schéma 11 + +$U_{12}(t)+U_{23}(t)+U_{31}(t)=0$ + +**$U_{eff}=\sqrt{3}V_{eff}$** est la tension efficace de la tension composée. + +Sauf mention contraire, le tension d'un système triphasé est la tension efficace entre phases. + +|400V||20kV||63kV|90kV|225kV|400kV| +|:--------------------:|:--------------------|:--------------------|:--------------------:|:--------------------:|:--------------------:|:--------------------:|:--------------------:| +|BT|1kV|HTA|50kV|HTB|||| + + + + +###3/ Les couplages + + + + + +#### a/ Couplage étoile + +Schéma 12 + +Si $\underline{Z_1}=\underline{Z_2}=\underline{Z_3}=\underline{Z}$ + +Et ${v_1, v_2, v_3}$ équilibré, ${i_1(t), i_2(t), i_3(t)}$ est triphasé équilibré. + +$\underline{i_N}=\underline{i_1}+\underline{i_2}+\underline{i_3}=0$ + + + + + +#### b/ Schéma monophasé étoile équivalent + +Pour un système triphasé (tri$\sim$ ou 3$\sim$) équilibré, on peut réduire le système à une seule phase. + +Schéma 13 + + + + + +#### c/ Couplage triangle + +$\Delta$ Delta, D, d + +Schéma 14 + +$\left\{\begin{matrix} +U_{12}=\underline{Z} . \underline{J_{12}}\\ +U_{23}=\underline{Z} . \underline{J_{23}}\\ +U_{31}=\underline{Z} . \underline{J_{31}} +\end{matrix}\right.$ + +Où J est le courant d'enroulement. + +Dans un couplage $\Delta$, le neutre n n'est pas matérialisé, les tensions simples ne sont pas mesurables, mais peuvent être définis virtuellement. + +Loi des nœuds + +$\left\{\begin{matrix} +i_1(t)=j_{12}(t)-j_{31}(t)\\ +i_2(t)=j_{23}(t)-j_{12}(t)\\ +i_3(t)=j_{31}(t)-j_{23}(t) +\end{matrix}\right.$ + + +$\left\{\begin{matrix} +i_1(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi)\\ +i_2(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi-\frac{2\pi}{3})\\ +i_3(t)=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\omega t-\phi-\frac{4\pi}{3}) +\end{matrix}\right.$ + + +$I_{eff}=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}\sqrt{3}$ avec $J_{eff}=\frac{U_{eff}}{\underline{Z}}$ + +**$I_{eff}=J_{eff}\sqrt{3}$** + + + + + +#### d/ Équivalence triangle étoile + +On peut représenter un système 3$\sim \Delta$ par un système virtuel équivalent couplé en Y, où les impédances $\underline{Z_e}=\frac{\underline{Z_t}}{3}$ + +Transformation de Kennedy + +$\Delta,U_{eff}=Z_eJ_{eff}$ +$Y, V_{eff}=Z_eI_{eff}$ + +Avec $U_{eff}=V_{eff}\sqrt{3}$ + +$J_{eff}=\frac{I_{eff}}{\sqrt{3}}$ + +$U_{eff}=....=V_{eff}\sqrt{3}$ + +$Z_t=3Z_e$ + + + + + +###4/ Puissances + +**Puissances instantanées** + +$p_1(t)=v_1(t).i_1(t)$ +$p_2(t)=v_2(t).i_2(t)$ +$p_3(t)=v_3(t).i_3(t)$ + + +$P_1=V_1I_1cos(\phi_1)$ +$P_2=V_2I_2cos(\phi_2)$ +$P_3=V_3I_3cos(\phi_3)$ + +$Q_1=V_1I_1sin(\phi_1)$ +$Q_2=V_2I_2sin(\phi_2)$ +$Q_3=V_3I_3sin(\phi_3)$ + +Avec $V_1=V_2=V_3=V$, $\phi_1=\phi_2=\phi_3=\phi$ et $I_1=I_2=I_3=I$, + +Boucherot + +$P=3VIcos\phi=3UJcos\phi$ + +$Q=3VIsin\phi=3UJsin\phi$ + +Y, $\Delta$ + +$U=V\sqrt{3}$ + +$I=J\sqrt{3}$ + +$P=\sqrt{3}UIcos{\phi}$ + +$P=\sqrt{3}UIsin{\phi}$ + +Puissance apparente + +$S \neq S_1+S_2+S_3$ + +$S=\sqrt{P^2+Q^2}$ + + +3$\sim$ équilibré + +$S=\sqrt{3}UI=3VI$Y, $=3UI\Delta$ + + +$p_1(t)=P_1(1+cos(2\omega t)+Q_1sin(2\omega t)$ +$p_2(t)=P_2(1+cos(2\omega t+\frac{2\pi}{3})+Q_2sin(2\omega t+\frac{2\pi}{3})$ +$p_3(t)=P_3(1+cos(2\omega t-\frac{2\pi}{3})+Q_3sin(2\omega t-\frac{2\pi}{3})$ + + +$P_1=P_2=P_3$ et$ Q_1=Q_2=Q_3$ + +$p(t)=p_1(t)+p_2(t)+p_3(t)=P_1+P_2+P_3=P$ + + + + +###5/ Intérêt du 3$\sim$ + +**Densité de courant dans les conducteurs** + +$\delta=\frac{I_{eff}}{S}=constante$ + +$R=\rho\frac{l}{S}$ + +Schéma 15 + +* En Monophasé + +$P=U_mI_m$ (cos$\phi$=1) + +$\delta=\frac{I_m}{S_m}$ avec $S_m$ la section d'un conducteur monophasé. + +Volume de métal conducteur $2.l.S_m$ + + +* En 3 $\sim$ + +$P=\sqrt{3}U_tI_tcos\phi$ (cos$\phi$=1) + +$\delta=\frac{I_t}{S_t}=\frac{I_m}{S_m}$ + +Volume de métal conducteur $3.l.S_t$ + +$P=\sqrt{3}U_tI_t=U_mI_m$ + +Si $U_t=U_m$ alors $\frac{I_m}{I_t}=\sqrt{3}$ + +$\frac{S_m}{S_t}=\sqrt{3}$ + +3$\sim3lS_t$ + +1$\sim2lS_m=2l\sqrt{3}S_t>3lS_t$ + +Le triphasé permet un économie de métal conducteur ($\frac{3}{2\sqrt{3}}\tilde85\%$) + +* Pertes + +tableau à faire + + +|1$\sim$|3$\sim$| +|:---------------------------:|:---------------------------:| +|$2R_mI_m^2$|$3R_tI_t^2$| +|$2\rho\frac{l}{S_t}\sqrt{3}I_t^2>$ | $>3\rho\frac{l}{S_t}I_t^2$| + +13% de pertes en moins + +\newpage + +# Chapitre 3 : Bases de la physique pour l’électrotechnique + + + +## I/ Définitions et lois de l’électromagnétisme appliqué à l’électrotechnique + + + + +###1/ Champs d'excitation et d'induction magnétiques + +$\vec{B}$ champ d'induction magnétique + +* [T] +* Conservation du flux +* Loi de Lenz + +$\vec{H}$ champ d'excitation magnétique + +* [A/m] +* Théorème d'Ampère + +$\vec{B}$ et $\vec{H}$ sont liés par le comportement du matériau ou du milieu qu'il est soumis. + +Matériau linéaire : $\vec{B}=\mu\vec{H}$ + +Vide : $\vec{B}=\mu_0\vec{H}$ + + + + +###2/ Théorème d'Ampère + + + + + +#### a/ Équation de Maxwell Ampère + +$\vec{rot}\vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ + +En milieu homogène ($\epsilon$ =constante, $\mu$ = constante) et isotropes ($\epsilon$ et $\mu$ scalaires) : + +$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}$ + +$\vec{rot}\vec{H}=\vec{j}+\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ + +Dans le vide, l'air, le cuivre : $\vec{B}=\mu_0\vec{H}$ + +$\vec{rot}\vec{B}=\mu_0\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ + +En électrotechnique, les courants sont crées par conduction à partir d'une source de tension (souvent sinusoïdale) + +$\vec{j}=\sigma\vec{E}$ + +$\sigma$ conductivité + +$\vec{rot}\vec{H}=\sigma\vec{E}+\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ + +Dans le cas d'un système sinusoïdale à 50Hz, on peut comparer $\sigma$ à $\epsilon_0\omega$. + +$\frac{\epsilon_0\omega}{\sigma}=\frac{8.85*10^{-92}*100\pi}{59.6*10^{6}}=4.7*10^{-17}$ + + +Équation simplifié : $\vec{rot}\vec{H}=\vec{j}$ + + + + + +#### b/ Intégration + +On intègre l'équation simplifié sur une surface S délimité par un contour fermé C. + +$\int\int_S\vec{rot}\vec{H}.\vec{dS}=\int\int_S\vec{j}.\vec{dS}$ + +Formule de Stokes : $\int\int_S\vec{rot}\vec{H}.\vec{dS}=\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\int\int_S\vec{j}.\vec{dS}$ + + + + + +#### c/ Application à l’électronique + +La densité de courant est portée par des conducteurs bobinés autour d'un circuit (ou noyau) magnétique. + +$\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\sum i$ + +signe des courants dans la relation précédente : Cela dépend de l'orientation du courant choisi i. On choisit en général un contour tangent aux lignes de champs, et sur lequelle champ $\vec{H}$ est de module constant, au moins par plages. + +$\oint_C\vec{H}.\vec{dl}=\sum_kH_kL_k\sum i$ + + + + + +#### d/ Comportement à l'interface + +$\vec{H}$ conserve sa composante tangentielle à l'interface des séparations entre 2 milieux. + +Schéma XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX + +**ATTENTION, il manque la fin** + + + + + + + + + + + + +###3/ Conservation du flux + + + + + +#### a/ Maxwell-Thomson + +$div \vec{B}=0$ + +Green-Ostrogradsky : $\int\int\int_V div\vec{B}dV=\oint\oint_S\vec{B}\vec{dS}=0$ + +Le flux d’induction est conservatif. On choisit judicieusement ds volumes dont la surface latérale est tangent aux lignes de champs d'induction : tube d'induction. + +Schéma XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX + +**ATTENTION, il manque la fin** + + + + + + + + + + + + + + + + +#### b/ Conversation de la composante normale de $\vec{B}$ à l'interface entre 2 milieux. + +Schéma 19 + +$\phi_{S1}+\phi_{S2}+\phi_{Sl}=0$ + +Si $\phi_{Sl}=0$ : $\phi_{S1}+\phi_{S2}\rightarrow 0$ + +$\vec{B}=B_t\vec{t}+B_n\vec{n}$ + +$\phi_{S1}$=...=B_{n1}S_1$ + +$\phi_{S2}$=...=-B_{n2}S_2$ + +En choisissant, $S_1=S_2$ et avec $\phi_{S1}+\phi_{S2}=0$, on obtient localement : $B_{n1}=B_{n2}$ + + + + +###4/ La loi de Lenz + +maxwell-Faraday : $\vec{rot}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ + +Stockes : $\int\int_S\vec{rot}\vec{E}=\oint_C\vec{E}.\vec{dl}=-\int\int_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ + +Si la surface est fermée et fixe dans le temps (cas d'une spire) + +$\oint_C\vec{E}.\vec{dl}=e$ (f.e.m force électromotrice induite dans la spire) + +Donc $e=-\frac{d\phi}{dt}$ **Loi de Lenz** + +e est en convention générateur. Le sens de $\phi$ est lié aux courants dans les enroulements et e est en convention générateur par rapport au courant dans l'enroulement qui permet de générer $\phi$. + +Schéma 20 + +Cas d'un nombre multiples de spires connectés en série. on définit le flux $\Phi$ + +$\Phi=\sum_i\phi_i$ + +où n est le nombre de spires. + +$e=-\frac{d\Phi}{dt}$ où e est la f.e.m aux bornes de l’enroulement. + +Si les spires sont soumises au même flux : $\phi_i=\phi\Rightarrow\Phi=n\phi$ + +$e=-n\frac{d\phi}{dt}$ + +$v(t)=n\frac{d\phi}{dt}$ + + + + +## II/ Matériaux magnétiques linéaires + + + + +###1/Caractérisation des matériaux linéaires + +**matériau linéaire** : relation linéaire (et scalaire) entre $\vec{B}$ et $\vec{H}$. + +$\vec{B}=\mu\vec{H}$ avec $\mu$ la perméabilité de matériau. + +* Vide, air, cuivre : $\mu_0=4\pi*10^{-7}$ + +1Tesla dans l'ai, $H=\frac{B}{\mu_0}\sim10^6$A/m + +Moteur électrique diamètre 30cm + +une ligne de champ mesure environ 1m, il faut 1 000 000 A pour obtenir 1T. + +* Matériaux ferreux ont une perméabilité + +$\mu=\mu_r\mu_0$ + +$\mu_r$ perméabilité relative $\mu_r\sim10^3à10^4$ + +$H=\frac{B}{\mu}\sim10^3$A/m si $\mu_r=1000$ + +$nI=1000A$ pour obtenir 1T + +Hl=nI, on peut prendre n=100 et I=10A + +les matériaux ferreux concentrent et amplifient le champ $\vec{B}$. + + + + +###2/ canalisation du flux + +à l'interface de 2 milieux, conservation de $B_n$et $H_t$ + +On définit $tan\alpha=\frac{B_t}{B_n}$ + +$\alpha$ est l'angle d'incidence entre $\vec{B}$ et la normale $\vec{n}$. + +Schéma 21 + +$tan\alpha_1=\frac{B_{t1}}{B_{n1}}$ + +$tan\alpha_2=\frac{B_{t2}}{B_{n2}}$ + +$\frac{tan\alpha_1}{tan\alpha_2}=\frac{B_{t1}}{B_{t2}}$ Or $B_{t1}=\mu_1H_{t1}$ et $B_{t2}=\mu_2H_{t2}$ et $H_{t1}=H_{t2}$ + +**$\frac{tan\alpha_1}{tan\alpha_2}=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}$** **Théorème de la réfraction magnétique** différent de l'optique + +Si $\mu_1>>\mu_2$ (fer>>air) + +$tan\alpha_2=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}tan\alpha_1$ et si $\alpha_1<90$° + +$tan\alpha_2\sim 0$ + +$B_{t2}\sim0$, il ne reste que la composante normale qui traverse l'interface. + +La composante tangentielle reste canalisé dans le matériau où $\mu$ est élevée. + +Un circuit magnétique tangent aux lignes d'induction canalise le flux. + +Problème des angles droits : fuite de flux normal à la surface : angles arrondis + +Schéma 22 + +Si passage obligé dans l'air (cas de l'entrefer) : B orthogonal à la surface de l’interface + +Schéma 23 + +$\mu_r<\infty$ il n'y a pas de conducteur de flux magnétique parfait $\Rightarrow$ fuites de flux dans l'air. + + + + +###3/ Énergie magnétique + +On considère un circuit magnétique composé d'un enroulement de n spires bobinés autour d'un noyau de section S de longueur de ligne de champ moyenne l. + +Schéma 24 + +L'énergie reçue peut se calculer à partir de l'énergie électrique fournie. + +$W=\int^{t_0}_0v(t)i(t)dt=\int^{t_0}_0i(t)\frac{d\Phi}{dt}dt=\int^{\Phi_0}_0i(\Phi)d\Phi$ + +$\Phi=n\phi$ + +$W=n\int^{\phi_0}_0i(\phi)d\phi$ + +$\phi=B.S$ + +$W=nS\int^{B_0}_0i(B)dB$ car S est constante. + +Théorème d'Ampère + +ni=Hl + +$W=lS\int^{B_0}_0H(B)dB$ = volume du noyau * densité volumique d'énergie magnétique. + +B=f(H) $\Rightarrow$ B=$\mu$H + +Schéma 25 + +$w^+=\int_0^{B_0}HdB>0$ + +$w^-=\int_{B_0}^0HdB<0$ énergie de démagnétisation. + + + + +###4/ induction (propre et mutuelle) + + + + + +#### a/ Inductance propre + +Système magnétique avec matériau linéaire. + +|I|$\rightarrow$|H|$\rightarrow$|B|$\rightarrow$|$\phi$|$\rightarrow$|$\Phi$| +|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:|:---------------------------------:| +||$H=\frac{nI}{l}$||$B=\mu H$||$\phi=BS$||$\Phi=n\phi$|| + +Tous est linéaire. + +On définit **$L=\frac{\Phi}{I}$** L'inductance + +Exemple : + +Système magnétique avec noyau de section constante et en négligeant les fuites. + +Schéma 26 + +$\Phi=n^2\mu\frac{S}{l}$ + + + + + +#### b/ Énergie et inductance + +$W=Sl\int_0^{B_0}HdB$ + +matériau linéaire $B=\mu H$ H=ni/l + +$W=Sl\int \frac{ni}{l}\mu dH$ + +$W=n^2\frac{\mu S}{l}\frac{i_0^2}{2}$ + +**$W=\frac{1}{2}LI_0^2$** + +**$W=\frac{1}{2}\frac{\Phi_0^2}{L}$** + + + + + +#### c/ Inductance mutuelle + +Lorsque plusieurs enroulements sont bobinés autour d'un même noyau magnétique, on définit : **$\Phi_i=M_{ij}I_j$** et $M_{ij}=\frac{\Phi_i}{I_j}$ est l'inductance mutuelle de l'enroulement j sur i. + +De même que pour l'inductance propre : $M_{ij}=n_in_j\mu\frac{S}{l}$ + + +$e_i=-\frac{d\Phi_i}{dt}$ où + +$\Phi_i=L_iI_i+\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}I_k$ + +$e_i=-L_i\frac{dI_i}{dt}-\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}\frac{dI_k}{dt}$ + +$v_i=L_i\frac{dI_i}{dt}+\sum_{k=1, k\neq i}^NM_{ik}\frac{dI_k}{dt}$ + + + + +###5/ Réluctance et force magnéto-motrice + +Pour un circuit magnétique fermé de section constante, on peut générer le champ H à l'aide d'un enroulement de n spires, parcourus par un courant I, on appelle force magnéto-motrice la grandeur nI. On peut relier cette grandeur à un flux d'induction $\phi$. + +Hl=nI + +$nI=\frac{l\phi}{\mu S}$ (nI est la f.m.m) + +**Réluctance** $\Re=\frac{l}{\mu S}$ + +On note que $L=\frac{n^2}{\Re}$ + +Analogie Schéma 27 + +|Magnétique|électrique| +|:--------------------------------------:|:--------------------------------------:| +|f.m.m nI|f.e.m| +|réluctance $\Re=\frac{l}{\mu S}$|résistance $R=\frac{l}{\sigma S}$| +|flux $\phi$ : conservation du flux|Courant I: loi des nœuds| +|association parallèle et série des $\Re$|association parallèle et série des R| +|point diviseur|point diviseur| +|flux/f.m.m|courant/tension| +|loi d'Ohm magnétique $nI=\Re\phi$|U=Ri| + + + + +###6/ Prise en compte des fuites + +La canalisation de $\phi$ n'est pas parfaite, il n'existe pas d'isolant magnétique. Une partie du flux $\phi$ sort du noyau magnétique et se reboucle dans l'air où $\mu$ est plus faible. + +Conséquence pratiques : il faut surexciter le système avec des valeurs de I plus élevé, prise en compte des fuites (**différent des pertes**) par le coefficient de **Hopkinson** r qui est le rapport entre flux total $\phi_t$ et le flux utile $\phi_u$ du système. + +$r=\frac{\phi_t}{\phi_u}=\frac{\Re_u}{\Re_t}$ + +Exemple : Schéma 27 + + + + +## III/ Non linéarité des matériaux + +les matériaux à $\mu_r$ élevé sont linéaires pour des valeurs de B limités (0.5, 0.6T) + + + + +###1/ Saturation + +$\mu$ élevé pour B et H faibles puis $\frac{\Delta B}{\Delta H}$ décroissant et tend vers $\mu_0$. + +Schéma 28 + +Conséquences : + +- Sur intensité +- génération d'harmonique en régime sinusoïdal +- ferrorésonnance + +B(t) et v(t)sinusoïdal + +$B=+\int\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS}cos(\omega t)dt$ + +$B=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS\omega}sin(\omega t)=B_{max}sin(\omega t)$ + +Schéma 29 + +Pour éviter la saturation, il faut limiter B à des valeurs relativement faibles. + +$B_{max}\leq B_{sat}$ + +en Sinusoïdal, + +$B_{max}=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{nS\omega}\leq B_{sat}$ + +On dimensionne $\{\frac{V_{eff}}{n}, S, \omega\}$ de sorte à limiter $B$\neq 0$) + +$v_1(t)=L_m\frac{d\i_{\mu 1}}{dt}$ + +si <$v_2(t)$>$\neq 0>0$ + +$i_{\mu 1}=\int \frac{v_1(t)}{L_m}dt$ croit + +$i_{\mu 1}$ vas atteindre des valeurs élevées + +$i_{\mu 1}$ croit Donc H croit, donc B croit donc saturation + +Donc surintensité + +$\frac{\Delta B}{\Delta H}\sim\mu_0$ + +Un transformateur n'est utilisable qu'en régime alternatif $=0$ + + + + + +#### b/ Inductance de fuite + +$\phi_1(t)=\phi_c(t)+\phi_{f1}$ + +$\phi_c$ est le flux commun entre les 2 enroulements + +$\phi_{f1}$ est le flux de fuites partielles de l'enroulement 1 + +$\phi_2(t)=\phi_c(t)+\phi_{f2}$ + + +$v_1(t)=n_1\frac{d\phi_1}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}+n_1\frac{d\phi_{f1}}{dt}$ + +$v_2(t)=n_2\frac{d\phi_2}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}+n_2\frac{d\phi_{f2}}{dt}$ + + +$v_1(t)-n_1\frac{d\phi_{f1}}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}$ + +$v_2(t)-n_2\frac{d\phi_{f2}}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}$ + + +$l_{f1}=\frac{n_1\phi_{f1}}{i_1}$ est l'**inductance de fuite partielles** de (I) + +$l_{f2}=\frac{n_2\phi_{f2}}{i_2}$ est l'**inductance de fuite partielles** de (II) + + +$v_1(t)-l_{f1}\frac{di_1}{dt}=n_1\frac{d\phi_c}{dt}$ + +$v_2(t)-l_{f2}\frac{di_2}{dt}=n_2\frac{d\phi_c}{dt}$ + + +Schéma 44 + +On peut ramener les deux inductances partielles à une inductance commune sur (I) ou (II), notée généralement $N_1$ ou $N_2$ + +$N_1=l_{f1}+\frac{l_{f2}}{m^2}$ + +$N_2=l_{f2}+m^2l_{f1}$ + + + + + + +#### c/ Résistance d'enroulement : + +$r_1=\rho\frac{l_1(longeur)}{S_1(section)}$ + + +$v_1(t)-r_1i_1(t)=n_1\frac{d\phi_c}{dt}$ + +$v_2(t)-r_2i_2(t)=n_2\frac{d\phi_c}{dt}$ + + +Schéma 45 + +$R_1=r_1+\frac{r_2}{m^2}$ + +$R_2=r_2+r_1m^2$ + + + + + +#### d/Perte fer + +modélisé par une résistance en parallèle avec le transformateur + +ATTENTION : c'est un modèle simplifié qui permet de modéliser la variation des pertes avec $V^2$. + +ATTENTION : $R_f$ dépend de la fréquence + + + + + +#### e/ Schéma à 50 Hz + + +Schéma 46 + + + + + +### 3/ Grandeurs Réduites + +**Grandeurs réduites** : se calculent à partir des grandeurs physiques (tension, courant, puissance, impédances) normaliséeq par rapport à des grandeurs de référence (généralement les valeurs nominales associées) + +$u_1=\frac{V_1}{V_{1ref}}$ + +$u_2=\frac{V_2}{V_{2ref}}$ + +$i_1=\frac{I_1}{I_{1ref}}$ + +$i_2=\frac{I_2}{I_{2ref}}$ + +$Z_{1ref}=\frac{V_{1ref}}{I_{1ref}}=\frac{(3)V_{1ref}^2}{S_{ref}}$ + +$Z_{2ref}=\frac{V_{2ref}}{I_{2ref}}=\frac{(3)V_{2ref}^2}{S_{ref}}$ + +$z_1=\frac{Z_1}{Z_{1ref}}$ + +$z_2=\frac{Z_2}{Z_{2ref}}$ + +$S_{ref}=(3)V_{1ref}I_{1ref}=(3)V_{2ref}I_{2ref}$ + +$p=\frac{P}{S_{ref}}$ + +$q=\frac{Q}{S_{ref}}$ + +en général, on choisit pour un système avec un transformateur : + +$V_{1ref}=V_{1n}$ + +$V_{2ref}=V_{2n}$ + +$S_{ref}=S_n=(3)V_{1n}I_{1n}$ + +$I_{1ref}=I_{1n}$ + +$I_{2ref}=I_{2n}$ + +**Schéma du modèle équivalent** : schéma 47 + +Exemple : $V_{1n}=20kV$ si $V_1=19kV$, $u_1=0.95$ + +$V_{1n}=400kV$ si $V_1=380kV$, $u_1=0.95$ + +Les caractéristiques R et N$\omega$ d'un transformateur sont données en unité réduite : + +$z_{cc}=\sqrt{r^2+(n\omega)^2}$ % par unit p.u. + +impédance de court circut si on souhaite obtenir $Z_1$, + +$Z_1=\sqrt{R^2+(N_1\omega)^2}=z_{cc}Z_{1ref}=z_{cc}\frac{V_{1n}^2}{S_n}$ + +ou $Z_2=\sqrt{R^2+(N_2\omega)^2}=z_{cc}Z_{2ref}$ + +**impédance de court-circuit** : $z_{cc}$ est la valeur d'impédance alimenté par la source lorsque le IIaire est en court-circuit. + +$z_{cc}\sim$ de 4 à 15% + + + + +## II/ Fonctionnement + + + + +### 1/ Essais + + + +#### a/ Essai à vide + +IIaire en circuit ouvert Donc $I_2$=0 + +Iaire alimenté sous $V_n$ + +mesure de $I_{1, 0}, P_0$, puis calcul de $S_0$ et de $Q_0$. + +$P_0=\frac{V_1^2}{R_f}$ + +$Q_0=\sqrt{S_0^2-P_0^2}=\frac{V_{1n}^2}{L_m\omega}$ + +On détermine $L_m\omega$ et $R_f$ + +mesure de $V_2\Rightarrow$ Rapport de transformation + + + +#### b/ Essai en court-circuit + +*Court-circuit de IIaire* + +ATTENTION si $V_{1cc}=V_{1n}$ + +$I_{1cc}=\frac{V_{1cc}}{Z_1}$ + +avec $Z_1=\sqrt{R^2+(N_1\omega)^2}=z_{cc}\frac{V_{1n}^2}{S_n}$ + +$I_{1cc}=\frac{V_{1cc}S_n}{z_{cc}V_{1n}^2}=\frac{S_n}{V_{1n}z_{cc}}=\frac{I_{1n}}{z_{cc}}$ + +Donc $S_{1cc}\sim10I_{1n}$ + +l'essai en CC se fait sous tension réduite + +si on veut $I_{1cc}=I_{1n}$ + +$I_{1cc}=\frac{V_{1cc}}{z_{cc}\frac{V_{1n}}{I_{1n}}}$ + +Donc $V_{1cc}=z_{cc}V_{1n}$ + +En pratique, on fait croitre $V_1$ de 0 jusqu'à la valeur $V_1=V_{1cc}$ pour laquelle $I_{1cc}=I_{1n}$ ou $I_{2cc}=I_{2n}$, on en déduit $z_{cc}$ + +Une mesure des puissance P et Q et du courant permet de déterminer R et N$\omega$. + +$P_{cc}=(3)R_1I_1^2+\frac{V_{1cc}^2}{R_f}$ + +$\frac{V_{1cc}^2}{R_f}$ sont les pertes fer négligeables car $V_{1cc}$ = 10% de $V_{1n}$ + +$Q_{cc}=(3)N_1\omega I_1^2=(3)N_2\omega I_2^2$ + +R et N$\omega$ + + + + + +### 2/ En charge + +en charge sur impédance $\underline{Z}$ + +#### a/ Relation de Kapp + +Schéma 48 + +Approximation Kapp : + +le module de RI+jXI est faible par rapport à celui de $V_2$ et l'angle $\delta$ est donc lui aussi très faible. + +$\delta\sim 0\Rightarrow sin\delta\sim\delta$ et $cos \delta \sim 1$ + + +En projettant horizontalement : + +$mV_1cos\delta=$XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX + + + + + + + + + + +#### b/ Tension de sortie en fonction de la nature de la charge + +* charge R $\phi$=0, $mV_1>V_2$ où $mV_1$ est la tension à vide du 2e transfo + +XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX + + + + + + +Ex : si tan $\phi$ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx + + + + + +#### c/ Rendement + +$r=\frac{Puissance\-active\-délivrée}{Puissance\-active\-reçue}=\frac{P_2}{P_1}=\frac{(3)V_2I_2cos\phi_2}{(3)V_1I_1cos\phi_1}=\frac{(3)V_2I_2cos\phi_2}{(3)V_2I_2cos\phi_2+(3)R_2I2^2+(3)\frac{V_1^2}{R_F}}$ + +r vaut 98%, 99% au point de fonctionnement nominal mais pertes à vide non négligeables ($\frac{V_1^2}{R_f}\sim RI_{2n}^2$, en p.u. $1/r_f\sim r$) + + + + + + +## III/ Transformateur triphasé + + + + +### 1/ structure + + +- 3 transfo mono +- transfo triphasé + +transfo à 4 ou 5 colonnes : Schéma 50 + +$V_a(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t)=n_a\frac{d\Phi_a}{dt}$ + +$V_b(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-2\pi/3)=n_b\frac{d\Phi_b}{dt}$ + +$V_c(t)=V_{eff}\sqrt{2}cos(\omega t-4\pi/3)=n_c\frac{d\Phi_c}{dt}$ + +par intégration autour d'une valeur moyenne de flux nulle + +$\phi_a(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_a\omega}sin(\omega t)$ + +$\phi_b(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_b\omega}sin(\omega t-2\pi/3)$ + +$\phi_c(t)=\frac{V_{eff}\sqrt{2}}{n_c\omega}sin(\omega t-4\pi/3)$ + +si $n_a=n_b=n_c$ + +{$\phi_a(t), \phi_b(t), \phi_c(t)$} est un système triphasé + +$\phi_a(t)+\phi_b(t)+\phi_c(t)=0$ + +Seules les 3 colones autour desquelles sont bobinés les enroulenements sont parcourus par du flux. + +Transformateur à 3 colonnes : Schéma 51 + + + + +### 2/ Couplage + + + + +#### a/ Couplage YY + +$m=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\underline{V_2}}{\underline{V_1}}=\frac{\underline{U_2}}{\underline{U_1}}$ + + + + +#### b/ Couplage $\Delta\Delta$ + +Schéma 52 + +$m=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\underline{V_2}}{\underline{V_1}}=\frac{\underline{U_2}}{\underline{U_1}}$ + + + + +#### c/ Couplage $\Delta Y_n$ + +n pour présence de neutre + +ex : transfo de distribution HTA/BT 20kV/400V + +Schéma 53 + +$\frac{\underline{V_{2a}}}{\underline{U_{1ab}}}=\frac{n_2}{n_1}$ + +$U_{1ab}=\underline{V_{1a}}-\underline{V_{1b}}=\sqrt{3}V_{1a}e^{+j\frac{\pi}{6}}$ + +$m=\frac{\underline{V_{2a}}}{\underline{V_{1a}}}=\frac{\underline{V_{2a}}\underline{U_{1ab}}}{\underline{V_{1a}}\underline{U_{1ab}}}=\frac{n_2}{n_1}\sqrt{3}e^{+j\frac{\pi}{6}}$ + + + + + +### 3/ Puissance + +Système équilibré + +$P=\sqrt{3}UIcos\phi=3VIcos\phi$ + +$Q=\sqrt{3}UIsin\phi=3VIsin\phi$ + +$S=\sqrt{3}UI=\sqrt{P^2+Q^2}$ + +On dimensionne un transfo tri pour $S_n$ triphasé et une tension entre phase : $S_n=\sqrt{3}U_nI_n$ + + + + + + +\newpage + +# Chapitre 5 : Conversion életromécanique + +## I/ Energie d'un système électromécanique + +Schéma 54 + + + +### 1/ Bilan d'energie + +Schéma 55 + +Pertes Joule, fer sont modélisées en dehors du système. + +La puissance éléctrique est fournie par l'enroulement. + +$dW_{elec}=\sum_iv_u(t)i_i(t)dt$ + +$dW_{elec}=dW_{méca}+dW_{mag}$ + +$dW_{méca}=Cd\theta$ en rotation + +$dW_{méca}=Fdx$ en translation + +$v_1(t)=\frac{d\Phi_i}{dt}$ + +$dW_{elec}=\sum_ii_id\Phi_i=Cd\theta+dW_{mag}=Fdx+dW_{mag}$ + + + + + +### 2/ Calcul de l'énergie magnétique + +en négligeant l'hystérisis, + +l'énergie magnétique du système dépend de son état : + +- mécanique : position des axes \theta, x +- magnétique : B et H, ou $\Phi$ et $i_i$ + +On peut exprimer l'énergie magnétique emmagasinée par le système, en considérant son évolution depuis un état démagnétisé à $i_i=0$ et en bloquant les pièces en mouvement. + +$dW_{mag}=dW_{elec}=\sum_i\i_i\Phi_i$ + +$W_{mag}=\sum_i\int_0^{\Phi_i}i_id\Phi_i$ à $\theta$ constant + + + + + +### 3/ Cas d'un système linéaire + +$\Phi_i=\sum_jM_{ij}i_j$ + +$M_{ij}$ : inductance mutuelle entre (i) et (j) si i$\neq$j + +$M_{ii}=L_i$ : inductance propre de l'enroulement + +$dW_{mag}=\sum_ii_id\Phi_i=\sum_ii_i\sum_jm_{ij}di_j$ + +$d\Phi_i=d(\sum_j m_{ij}i_j=\sum_j i_jdm_{ij}+\sum_j m_{ij}di_j$ + +axes bloqués $dm_{ij}=0$ + +$dW_mag=\sum_i\sum_jm_{ij}i_i=\sum_jd_{ij}\sum_im_{ij}i_i$ + +Or m_{ij}=m_{ji} + +$dW_mag=\sum_jdi_j\sum_im_{ji}i_i$ + +Or $\sum_im_{ji}i_i=\Phi_j$ + +$dW_{mag}=\sum_j\theta_jdi_j$ + +De plus, $d(\sum_i\theta_idi_i)=\sum_i\Phi_idi_i+\sum_ii_id\Phi_i$ + +Avec $dW_{mag}=\sum_ii_id\Phi_i=\sum\Phi_idi_i$ + +$dW_{mag}=\frac{1}{2}d(\sum_i\Phi_ii_i)$ + +$W_{mag}=\intdW_{mag}=\frac{1}{2}\sum_i\Phi_ii_i$ + +$\Phi_i=\sum_jm_{ij}i_j$ + +**$W_{mag}=\frac{1}{2}\sum_il_ii_i^2+\sum_{i>j}m_{ij}i_ii_j$** + +Schéma 56 + + + + + +### 4/ Expression par le schéma équivalent + +Energie magnétique contenue dans un élément de tube de section $\delta S$ et de longueur $\delta l$ + +$W=\int_{Volume} (\int_0^BHdB)\delta l\delta S$=\int_{Volume}\int_0^BHdld(B\delta S) + +la f.m.m $Hdl=\Re\phi$ + +$\Re=\frac{\delta l}{\mu\delta S}$ + +$W=\int_{Tubes}\int_0^{\phi}\Re_{\phi}d\phi$ sur un nombre discret de tubes, + +**$W=\sum_{Tubes j}\frac{1}{2}\Re_j\phi_j^2$** + + + + + +### 5/ Coénergie + +On définit la coénergie pour exprimer l'état énergétique du système en fonction des variations de courant à flux constant. + +Bilan de puissance : + +$\sum_ii_id\Phi_i=dW_{mag}+Cd\theta$ + +$\sum_ii_id\phi_i=\sum_id(i_i\Phi_i)-\sum_i\Phi_idi_i$ + +$\sum_id(i_i\Phi_i)-dW_{mag}=\sum_i\Phi_idi_+Cd\theta=dW_{mag}^'$ + +On définit **$W_{mag}^'=sum_ii_i\Phi_i-W_{mag}$** ** Coénergie du système magnétique + +cas de système linéaire + +$W_{mag}=\frac{1}{2}\sum_i\phi_ii_i\RightarrowW_{mag}=W_{mag}^'$ + + + +### 6/ Expression local de la coénergie + +$w=\int_0^BHdB$ + +$w^'=\int_0^HBdH$ + +$W^'=\int_{vol}w^'dv$ + +Schéma 57 + + + + + +