% cours numéro 3


\section{Conséquences}
\subsection{Deux évènements}
\paragraph{}
On considère deux évènements, repérés,
\begin{itemize}
\item
dans $S$, par $(x_{1}, t_{1})$ et $(x_{2}, t_{2})$ ;
\item
dans $S'$, par $(x'_{1}, t'_{1})$ et $(x'_{2},  t'_{2})$.
\end{itemize}

\paragraph{}
On définit alors les durées et les distances :
\begin{itemize}
\item
$\Delta x = x_{2} -x_{1}$
\item
$\Delta t = t_{2} -t_{1}$
\item
$\Delta x' = x'_{2} - x'_{1}$
\item
$\Delta t' = t'_{2} -t'_{1}$
\end{itemize}

\paragraph{}
D'après \eqref{EQI}, on a
\begin{equation}
\Delta x' = \gamma \left( \Delta x -v \Delta t \right)
\label{eq3}
\end{equation}

De même, d'après \eqref{EQII}, on a aussi
\begin{equation}
\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v}{c^{2}} \Delta x \right)
\label{eq4}
\end{equation}


\subsection{Contraction des longueurs}
\paragraph{}
Soit un corps de longueur $\Delta x$ dans $S$, $\Delta x'$ dans $S'$.
On fait une photo à un instant $t=t_{1}=t_{2}$. On a $\Delta x = x_{2}- x_{1}$.
Ainsi, d'après \eqref{eq3}, avec $\Delta t = 0$ :
\[
\boxed{
\Delta x' = \gamma \Delta x = \frac{\Delta x}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} }} 
}
\]

Au final on obtient $\Delta x' > \Delta x $ : un objet qui mesure $\Delta x'$ dans $S'$ paraît contracté dans $S$.

\subsection{Dilatation des durées}
\paragraph{}
D'après \eqref{eq4}, par symétrie,
\begin{equation}
\Delta t = \gamma \left(\Delta t' + \frac{v}{c^{2}} \Delta x' \right)
\label{eq4'}
\end{equation}

\paragraph{}
Pour deux évènements localisés au même endroit dans $S'$, on a $x'=x'_{1}=x'_{2}$ donc $\Delta x' = 0$.
Ainsi \eqref{eq4'} donne :
\[
\boxed{
\Delta t = \gamma \Delta t' = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}
}
\]

D'où au final $\Delta t > \Delta t' $ : il y a dilatation des durées pour l'observateur en $S$ ;
on parle de \og retard \fg{} des horloges mobiles, retard qui a pu être observé sur les horloges des avions.

\paragraph{Exemple des muons}
Un autre exemple de ce phénomène concerne les muons qui pénètrent dans l'atmosphère avec une vitesse très élevée : le temps perçu par les muons n'est pas le même que celui que nous percevons.
% schéma 2

\paragraph{Paradoxe des jumeaux de Langevin}
On considère deux jumeaux, A et B. A reste sur la Terre, alors que B voyage avec la vitesse $v$ à travers l'espace. On pose $v$ = 0,99 c.

D'après la relativité restreinte, si pour l'horloge de A, la durée du voyage est de $\Delta t =$ 14 ans,
pour l'horloge de B, cette durée n'a été que de  $\Delta t' \approx$ 2 ans.

Ainsi, pendant que le voyageur B a vieilli de deux ans, A a vieilli de 14 ans. Mais, au retour de B, sera-t-il réellement plus jeune que A ?

Un aller-retour nécessite des accélérations : des changements de vitesse. Donc la relativité restreinte ne s'applique plus. Il faut faire appel à la relativité générale pour répondre à cette question.

\paragraph{Exemple du train}
Un observateur est fixe dans $S'$, référentiel lié au wagon.
% schéma 3 i
Il considére l'horloge suivante : entre 2 miroirs, séparés par une longueur $L$, un photon fait des aller-retours.
Chacun de ces aller-retours correspond à une période de l'horloge :
$\Delta t' = \frac{2L}{c} = \frac{d'}{c}$, où $ d' = 2L $.

Cette fois l'observateur est fixe dans $S$, référentiel lié aux rails.
Le wagon est en translation à la vitesse $v$ par rapport à $S$.
% schéma 3 ii
L'observateur mesure $\Delta t = \frac{d}{c}$

Or on a $ d > d' = 2L $, donc on a aussi $\Delta t > \Delta t'$.

\section{Équivalence Masse-Énergie}
\subsection{Énergies totales et quantités de mouvement}
\paragraph{}

On considère un corps en mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse quelconque
par rapport à $S'$.

Si on lui applique une force $F$ sur une distance $\Delta x'$, son énergie varie de $\Delta E' = F\Delta x'$. Ainsi :
\[ \Delta x' = \frac{\Delta E'}{F}\]

On se place maintenant dans $S$.
Or, d'après le premier postulat, la force $F$ est invariante : $F \equiv F'$.
On a donc aussi :
\[ \Delta x = \frac{\Delta E}{F} \]

\paragraph{}

De même, pour la quantité de mouvement, d'après le PFD,
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta p'}{\Delta t'}$,
donc :
\[ \Delta t = \frac{\Delta p}{F} \textrm{ et } \Delta t' = \frac{\Delta p'}{F} \]

On porte ces longueurs et ces dureés dans \eqref{eq3} et \eqref{eq4}.

Alors
$\frac{\Delta E'}{F} = \gamma ( \frac{\Delta E}{F} - v \frac{\Delta p}{F})$,
donc on obtient finalement :
\[ \Delta E' = \gamma ( \Delta E - v \Delta p ) \]

%\newcommand{\D}{\Delta}

\paragraph{}

De même, $\frac{\D p'}{F} = \gamma( \frac{\D p}{F} - \frac{v}{c^{2}} \frac{\D E}{F} )$,
ainsi on obtient :
\[ \D p' = \gamma (\D p  - \frac{v}{c^{2}} \D E ) \]

Après avoir établi les équations symétriques, on obtient en fin de compte :
\begin{equation}
\boxed{
E' = \gamma ( E - vp)
}
\label{eq5}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{
p' = \gamma (p - \frac{v}{c^{2}} E )
}
\label{eq6}
\end{equation}

\subsection{Énergies cinétiques}
\paragraph{Utilisation d'un cas particulier}

On utilise un cas particulier : si le corps a une vitesse $v$ par rapport à $S$,
il doit être au repos dans $S'$.
Alors l'énergie cinétique dans $S$ s'écrit $E'_{c} = 0$, et $p' = 0$.

On pose l'énergie totale $E' = 0 + E'_{0}$ (somme de l'énergie cinétique et de l'énergie au repos, sorte d'énergie potentielle ou interne).
On ne sait pas à quoi elle est égale pour le moment.

\paragraph{}

L'équation \eqref{eq5} donne : $0 + E'_{0} = \gamma( E - vp)$.

L'équation \eqref{eq6} donne :
$0 = \gamma ( p - \frac{v}{c^{2}} E) $
d'où $p = \frac{v}{c^{2}} E$.

\paragraph{}

Ainsi on obtient les relations suivantes :
\[ E'_{0} = \gamma \left( E -\frac{v^2}{c^2} E \right) \]

\begin{equation}
E = \frac{E'_{0}}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
\label{eqEE'}
\end{equation}

\begin{equation}
p = \frac{v}{c^{2}} \frac{E'_{0}}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
\label{eqp}
\end{equation} 

\paragraph{}

On utilise le fait que, quand $v \ll c$, on doit retrouver la mécanique classique, notamment
$p = m_{0} v$, où $m_{0}$ est la masse du corps au repos.

Or, quand $v \ll c$,
\[ p = \frac{v}{c^{2}} \frac{E'_{0}}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \approx \frac{v}{c^{2}} E'_{0} = m_{0} v \]

On obtient alors : $E'_{0} = m_{0} c^{2}$.

Or $E'_{0}$ ne dépend ni de $v$, ni de $w$ ou $w'$, on a donc :
\begin{equation}
\boxed{
E_{0} = E'_{0} = m_{0} c^{2}
}
\label{eqE0}
\end{equation}

qui est l'énergie du système au repos, l'énergie \og potentielle \fg{}  $E_{0}$.

\paragraph{Masse et vitesse}

Ainsi, d'après \eqref{eqp} et \eqref{eqE0},
$p = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} v$.

Donc, en posant :
\begin{equation}
\boxed{
m = \gamma m_{0} = \frac{m_{0}}{ \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} }
}
\label{eqm}
\end{equation}
on a bien $p = m v$.

On observe alors que la masse augmente quand $v$ augmente :
$m \rightarrow \infty$ quand $v \rightarrow c$.

\paragraph{Énergie totale}
Par \eqref{eqEE'} et \eqref{eqE0}, on a l'égalité :
$E = \gamma m_{0} c^{2}$.
Puis, d'après \eqref{eqm}, l'énergie totale s'écrit :
\begin{equation}
\boxed{
E = m c^{2} %% encadrer
}
\label{eqeneg}
\end{equation}

\paragraph{Énergie cinétique relativiste}

On a, par définition, $ E = E_{c} + E_{0} $,
d'où $ E_{c} = E - E_{0} = m c^{2}  - m_{0} c ^{2}$, soit :
\begin{equation}
\boxed{
E_{c} = m_{0} c ^{2} ( \gamma - 1 )
}
\label{eqEc}
\end{equation}

\paragraph{Cas particulier : lois classiques}
Quand $\frac{v}{c} \rightarrow 0$,
$ E_{c} \approx m_{0} c ^{2} ( 1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} - 1 ) = \frac{1}{2} m_{0} v^{2} $,
et on retrouve bien l'$E_{c}$ de la mécanique classique.

\paragraph{Remarques}
\begin{itemize}
\item
Aux faibles vitesses, l'énergie totale s'écrit : $E \approx m_{0} c^{2} + \frac{1}{2} m_{0} v^{2} $
\item
Pour le photon, $v = c$, soit $m \rightarrow \infty$ d'après l'équation \eqref{eqm}, mais en fait, $m_{0} = 0$
(la masse au \og repos \fg{} du photon est nulle, mais cela ne signifie pas grand chose car un photon est toujours à la vitesse $c$),
donc $m = 0$ pour tout $v$.
\item
on peut écrire l'énergie totale sous la forme $E^{2} = p^{2} c^{2} + m_{0}^{2} c^{4} $
\end{itemize}

\paragraph{Exemple}
On considère un proton ($m_{0}= 1,67.10^{-27}$ kg) à la vitesse $v_{1}=$ 299~000 km/h.
Alors
$E_{c1} =$ 2,45 $10^{-9}$ J = 15,3 GeV
et $m_{1} =$ 16,3 $m_{0}$.

On double son énergie : désormais $E_{c2}=$ 30,6 GeV

Alors $v_{2}=$ 299 730 km/s
et $m_{2}=$ 32,3 $m_{0}$.