\part{Relativité restreinte}
\paragraph{}

La relativité \textbf{restreinte} s'appelle ainsi car elle ne s'applique qu'en l'absence
de gravitation, et, plus généralement, d'accélération.

En revanche, la relativité \textbf{générale} est valable en présence de gravitation.

\section{Composition des vitesses dans la mécanique classique}
\subsection{Transformation de Galilée}
\paragraph{}

Un voyageur marche à 5 km/h dans un wagon qui se déplace lui-même à 100 km/h par rapport aux rails.
On considère alors deux systèmes $S$ et $S'$ :

\paragraph{}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Premier système de référence & $S$ & attaché aux rails & horloge $H \to t$ \\
\hline
Deuxième système de référence & $S'$ & attaché au wagon & horloge $H' \to t'$ \\
\hline
\end{tabular}

\paragraph{}

$S'$ est en translation rectiligne uniforme par rapports à $S$. Donc $S'$ et $S$ sont tous deux des référentiels \textbf{inertiels} ou \textbf{galiléens}.

\paragraph{}

Soit $w'$ la vitesse du voyageur par rapport au wagon.
Pour mesurer cette vitesse,
un observateur lié à $S'$ mesure la distance $\Delta x'$
parcourue par le voyageur pendant l'intervalle de temps
$\Delta t'$.

Ainsi $w' = \frac{\Delta x'}{\Delta t'} = 5 \textrm{ km/h}$.

\paragraph{}

Soit $v$ la vitesse du train par rapport aux rails, et $w$ celle
du voyageur par rapport aux rails.
Un observateur lié à S' fait la mesure :
$w =  \frac{\Delta x}{\Delta t} = 105 \textrm{ km/h}$ .

On a bien : $w = v + w'$, où :
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$w$ & vitesse absolue \\
\hline
$v$ & vitesse d'entraînement \\
\hline
$w'$ & vitesse relative \\
\hline
\end{tabular}

\paragraph{}

Il s'agit de la loi de composition des vitesses en mécanique classique, ou
\textbf{transformation de Galilée}.
Le temps y est absolu : $t=t'$.

\subsection{Problème de la vitesse de la lumière}
\paragraph{}

Que se passe-t-il pour la lumière ?
Considérons $P$, position d'un flash lumineux qui se propage.
Un observateur lié à $S'$ mesure la vitesse
$w' = \frac{\Delta x'}{\Delta t'} = c =$ 299 792 458 m/s.
Un autre observateur, lié à $S$, mesure
$w =\frac{\Delta x}{\Delta t} = c$, soit la même vitesse !

Cette fois
$w \neq v + w' $ :
\textbf{la loi de transformation galiléenne ne s'applique plus.}

\paragraph{}

En réalité, la constance de $c$, vitesse de la lumière dans le vide,
quel que soit le référentiel a été
démontrée en 1887 par l'expérience de Michelson et Morley,
expérience confirmée par la suite.

\section{Composition des vitesses en relativité restreinte}
\subsection{Postulats}
\paragraph{}

\textbf{Deuxième postulat de la relativité restreinte :} la vitesse
de la lumière ne présente jamais de valeur relative.
Dans le vide (ou dans l'air) cette vitesse est égale à $c$ dans
tous les référentiels d'inertie.

\paragraph{}

Or $c = \frac{d}{t}$. Il faut donc trouver un nouvelle loi d'addition des vitesse.

\paragraph{}

\textbf{Premier postulat de la relativité restreinte :}
les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels d'inertie.

\subsection{Cas particulier : $x' = 0$}
\paragraph{Cadre de l'étude}

On reprend l'exemple précédent, avec les référentiels $S$ et $S'$ :
$Ox'$ a un mouvement rectiligne parallèle à $Ox$,
de vitesse constante $v$ par rapport à $S$. $S$ et $S'$ sont donc
toujours des référentiels d'inertie.

\paragraph{Introduction de $\gamma$}

Soit $P$ la position d'un point quelconque, repéré en $S$ par $x$,
et en $S'$ par $x'$. Un horloge dans $S$ donne le temps $t$,
une autre dans $S'$ donne le temps $t'$.

À $t=t'=0$ on considère que $O \equiv O'$.
Ainsi, $x'=0 \Rightarrow O \equiv O'$. Dans le cas où $x'=0$, on a alors $x=x_{0}=vt$,
en effet $O'$ caractérise le mouvement de $S$ par rapport à $S'$.

On suppose que $x'$ est une fonction polynomiale en $x$.
Alors, comme $x'_{(x=x_{0})}=0$, $x'$ admet $(x-x_{0})$ en facteur.
Donc il existe $\gamma$ fonction polynomiale en $x$ telle que : $ x' = \gamma (x - x_{0})$.
D'où :
%\begin{figure}
%\begin{empheq}[box=\fbox]{equation}
\begin{equation}
\boxed{x' = \gamma (x - vt)}
\label{EQI}
\end{equation}
%\end{empheq}
%\end{figure}

\subsection{Calcul de $\gamma$}
\paragraph{}

En mécanique classique, $\gamma = 1$. Mais que vaut $\gamma$ dans le cas de la relativité restreinte ?
Utilisons le postulat que $c \equiv constante$.

\paragraph{}

Soit $P$ un point lumineux émis à $t = t' = 0$ en $O \equiv O'$. On a alors :
\begin{equation}
\textrm{ dans } S' : x' = c t'
\label{S'}
\end{equation}
\begin{equation}
\textrm{ dans } S : x = c t
\label{S}
\end{equation}

\paragraph{}

Plutôt qu'une relation du type $x' = f(x, t)$, on voudrait établir une relation de la forme $t' = f(t, x)$.
On cherche alors $a$ et $b$ tels que :
\begin{equation}
t' = at + bx
\label{eq*}
\end{equation}

L'équation (\ref{EQI}) donne alors :
\[
\textrm{(\ref{EQI})}
\underset{\textrm{(\ref{S})}}{\Rightarrow}
x' = \gamma \left(ct - v\frac{x}{c}\right)
\underset{\textrm{(\ref{S'})}}{\Rightarrow}
ct' = \gamma \left(ct - v\frac{x}{c}\right)
\underset{ \textrm{(\ref{eq*})}}{\Rightarrow}
c(at + bx) = \gamma \left(ct - v \frac{x}{c}\right)
\]

D'où, par identification, $a = \gamma$ et $b = - \frac{\gamma v}{c^{2}}$.

\paragraph{}

Ainsi, d'après (\ref{eq*}),
%\begin{empheq}[box=\fbox]{equation}
\begin{equation}
\boxed{
t' = \gamma \left(t - \frac{v}{c^{2}}x \right)
}
\label{EQII}
\end{equation}
%\end{empheq}

Or la vitesse $v$ est relative aux deux systèmes :
$S'$ est en droit de se considérer au repos 
et de voir $S$ se déplacer par rapport à lui
avec la vitesse $-v$.
C'est le principe de réciprocité des vitesses.
On a alors, en supposant que $\gamma(-v) = \gamma(v)$ :
\begin{equation}
x = \gamma \left(x' + v t' \right)
\label{EQI'}
\end{equation}
\begin{equation}
t = \gamma \left(t' + \frac{v}{c^{2}} x' \right)
\label{EQII'}
\end{equation}

Ainsi, (\ref{EQI}) s'écrit :
\[
x' = \gamma (x - vt)
\underset{\textrm{(\ref{EQI'}) et (\ref{EQII'})}}{=}
\gamma^{2} x' \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right)
 \]

 Cela est vrai pour tout $x' \neq 0$, d'où
 $1 = \gamma^{2} (1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})$.
 Ainsi :
 \begin{equation}
\boxed{
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}
}
 \label{eqgamma}
 \end{equation}
 
 On observe que $\gamma$ est paire en $v$,
 ce qui est cohérent avec l'hypothèse qui nous a permis d'écrire
 les équations (\ref{EQI'}) et (\ref{EQII'}).
 
\paragraph{Conclusion}

\begin{itemize}
\item
Si $v \ll c$, alors
$\gamma \approx 1$ et on retrouve la transformation galiléenne.
\item
Sinon, $\gamma \neq 1$,
et on doit appliquer une \textbf{transformation de Lorentz.}
\end{itemize}

\subsection{Composition des vitesses}
\paragraph{}

Maintenant, considérons $P$ animé d'une vitesse $w'$ par rapport à $S'$.

\[ x' = w' t' \]
\[ \underset{\textrm{(\ref{EQI}) et (\ref{EQII})}}{\Rightarrow} \gamma (x - vt) = w' \gamma \left( t - \frac{v}{c^{2}}x \right) \]
\[ \Rightarrow x \left( 1 + w' \frac{v}{c^{2}} \right) = t ( w' + v ) \]

Or $w$ vitesse de $P$ par rapport à $S$ vérifie $x=wt$, d'où la \textbf{nouvelle loi de composition des vitesses}
\begin{equation}
\boxed{
w = \frac{w' + v}{1 + w' \frac{v}{c^{2}} }
}
\label{eqcompos}
\end{equation}

\paragraph{Cas particuliers}

\begin{itemize}
\item
Si $w' \ll c$ et $v \ll c$ alors $w \approx w' + v$ (transformation de Galilée) ;
\item
si $w' = c$ alors $w = c$ ;
\item
de même, si $v = c$ alors $w = c$.
\end{itemize}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{relat.eps}
\caption{$w = f(w')$, cf. eq (\ref{eqcompos}), pour $v = 1 \times 10^{8}$ m/s, d'après les transformations de Galilée (trait fin) et de Lorentz (trait large)}

% code Maxima utilisé pour réaliser le graphe :

 	% f(w,v,c):=(w+v)/(1+w*(v/c**2));c:3*10**8;v:1*10**8;
 	
 	%  relat(x):=f(x,v,c);galil(x):=x+v;
 	
 	% plot2d ([relat(w),galil(w),c],[w, 0, 3*10**8],[y, 0, 4*10**8],[gnuplot_term,ps],[gnuplot_out_file,"relat.eps"],
% [xlabel, "w' (m/s)"],[ylabel, "w (m/s)"], [style, [lines,4,5],[lines,2,5],[lines,0.5,5]],[legend,false]);

\label{f(w')}
\end{figure}